On montre plusieurs résultats concernant les remplissages faibles de variétés de contact de dimension $3$, notamment : (1) Les remplissages faibles des variétés de contact planaires sont à déformation près des éclatements de remplissages de Stein. (2) Les variétés de contact ayant de la torsion planaire et satisfaisant une certaine condition homologique n'admettent pas de remplissages faibles – de cette manière on obtient des nouveaux exemples de variétés de contact qui ne sont pas faiblement remplissables. (3) La remplissabilité faible est préservée par l'opération de somme connexe le long de tores pré-lagrangiens — ce qui nous donne beaucoup de nouveaux exemples de variétés de contact sans torsion de Giroux qui sont faiblement, mais pas fortement, remplissables. On établit une obstruction à la remplissabilité faible avec deux approches qui utilisent des courbes holomorphes. La première méthode se base sur l'argument original de Gromov-Eliashberg des « disques de Bishop ». On utilise une famille d'anneaux holomorphes s'appuyant sur un « anneau vrillé ancré » pour étudier le cas spécial de la torsion de Giroux. La deuxième méthode utilise des courbes holomorphes à pointes, et elle se base sur l'observation que, dans un remplissage faible, la structure symplectique peut être déformée au voisinage du bord, en une structure hamiltonienne stable. Cette observation permet aussi d'appliquer les méthodes à la théorie symplectique de champs, et on montre dans un cas simple que la distinction entre les remplissabilités faible et forte se traduit en homologie de contact par une distinction entre coefficients tordus et non tordus.