Etant donné un polynôme de plusieurs variables $h\left (X_1,\dots ,X_n\right )$ à coefficients entiers vérifiant une hypothèse de régularité analytique (et vérifiant $h(\textbf {0})=1$), on détermine le domaine maximal de méromorphie du produit eulérien $\prod _{p \text { premier}}h\left (p^{-s_1},\dots ,p^{-s_n}\right )$ et la frontière naturelle de méromorphie est décrite précisément lorsqu'elle existe. De cette façon on généralise un résultat célèbre de 1928 concernant les polynômes d'une variable due à Estermann. En guise d'application, on détermine la frontière naturelle de produits eulériens de plusieurs variables associés à une famille de variétés toriques.