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Exposé Bourbaki 1088 : Le problème de Kadison-Singer

Exposé Bourbaki 1088 : The Kadison-Singer problem

Alain VALETTE
Exposé Bourbaki 1088 : Le problème de Kadison-Singer
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  • Année : 2015
  • Tome : 367-368
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 05C50, 15A15, 26C10, 46L30.
  • Pages : 451-476
  • DOI : 10.24033/ast.954

En 1959, R.V. Kadison et I.M. Singer demandaient si tout état pur de l'algèbre des matrices diagonales sur $\ell ^2$, s'étend en un unique état pur sur $B(\ell ^2)$. La solution affirmative a été obtenue en juin 2013 par A. Marcus, S. Spielman et N. Srivastava, suite à des traductions du problème en algèbre linéaire dues à J. Anderson, C. Akemann, N. Weaver... Les résultats principaux concernent le plus grand zéro de l'espérance du polynôme caractéristique d'une somme de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans les matrices positives de rang 1.

In 1959, R.V. Kadison and I.M. Singer asked whether each pure state of the algebra of bounded diagonal operators on $\ell ^2$ admits a unique state extension to $B(\ell ^2)$. The positive answer was given in June 2013 by A. Marcus, D. Spielman and N. Srivastava, who took advantage of a series of translations of the original question, due to C. Akemann, J. Anderson, N. Weaver... Ultimately, the problem boils down to an estimate of the largest zero of the expected characteristic polynomial of the sum of independent random variables taking values in rank 1 positive matrices in the algebra of $n$-by-$n$ matrices.

États purs sur les $C^*$-algèbres, polynômes réels stables, matrices aléatoires, polynômes caractéristiques mixtes, conjecture de Bourgain-Tzafriri, graphes de Ramanujan.
Pure states on $C^*$-algebras, real stable polynomials, random matrices, mixed characteristic polynomials, Bourgain-Tzafriri conjecture, Ramanujan graphs.

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