Sur une variété analytique réelle $M$ nous construisons la topologie de Grothendieck linéaire $M_{\mathrm {sal}} $ et le morphisme naturel de sites $\rho $ de $M_{\mathrm {sa}} $ vers $M_{\mathrm {sal}} $, où $M_{\mathrm {sa}} $ est le site sous-analytique usuel. Notre premier résultat est que le foncteur dérivé de l'image directe par $\rho $ admet un adjoint à droite, ce qui nous permet d'associer fonctoriellement un faisceau (au sens dérivé) sur $M_{\mathrm {sa}} $ à un préfaisceau sur $M_{\mathrm {sa}} $ satisfaisant certaines propriétés, ce faisceau ayant les mêmes sections que le préfaisceau sur tout ouvert à bord Lipschitz. Nous appliquons cette construction à divers préfaisceaux sur des variétés réelles, tels que le préfaisceau des fonctions à croissance tempérée d'un ordre donné le long du bord ou à croissance Gevrey le long du bord. (Dans un article séparé, Gilles Lebeau utilisera ces techniques pour construire les faisceaux de Sobolev.) Sur une variété complexe munie de la topologie sous-analytique, les complexes de Dolbeault associés à ces nouveaux faisceaux nous permettent d'obtenir divers faisceaux de fonctions holomorphes à croissance. Comme application, nous pouvons munir fonctoriellement les $\mathcal {D} $-modules holonomes réguliers d'une filtration, au sens dérivé.