SMF

Algébricité modulo $p$, séries hypergéométriques et structures de Frobenius fortes

Algebraicity modulo $p$, hypergeometric series and strong Frobenius structure

Daniel VARGAS-MONTOYA
Algébricité modulo $p$, séries hypergéométriques et structures de Frobenius fortes
  • Consulter un extrait
  • Année : 2021
  • Fascicule : 3
  • Tome : 149
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11E95, 12H25
  • Pages : 439-477
  • DOI : 10.24033/bsmf.2834

Ce travail est consacré à l'étude de l'algébricité modulo $p$ des $G$-fonctions de Siegel. Notre but  est de souligner la pertinence de la notion de structure de Frobenius forte, classiquement étudiée dans la théorie des équations différentielles $p$-adiques, pour l'étude d'une conjecture d'Adamczewski et Delaygue concernant le degré d'algéricité de réductions modulo $p$ de $G$-fonctions. Nous rendons d'abord explicite un résultat de Christol en montrant que si $f(z)$ est une $G$-fonction qui annule un opérateur différentiel dans $\mathbb{Q}(z)[d/dz]$ d'ordre $n$ qui est muni d'une structure de Frobenius forte de période $h$ pour le nombre premier $p$ et que $f(z)$ est à coefficients dans $\mathbb{Z}_{(p)}$, alors la réduction de $f$ modulo $p$ est algébrique sur $\mathbb F_p(z)$ et son degré d'algébricité est majoré par $p^{n^2h}$. En généralisant une approche introduite par Salinier, nous montrons ensuite qu'un opérateur fuchsien à coefficients dans $\mathbb{Q}(z)$, dont le groupe de monodromie est rigide et dont les exposants sont rationnels,  possède, pour presque tout nombre premier $p$, une structure de Frobenius forte  de période $h$, où $h$ est majorée explicitement et indépendamment  de $p$. Une version légèrement différente de ce résultat a été démontré récemment par Crew en suivant une approche différente fondée sur la cohomologie $p$-adique. Nous utilisons ces deux résultats pour résoudre la conjecture mentionnée  dans le cas des séries hypergéométriques généralisées.

This work is devoted to study of algebraicity modulo $p$ of Siegel's $G$-functions. Our goal is emphasize the relevance of the notion of strong Frobenius structure, classically studied in the theory of the $p$-adic differential equations, for the study of a Adamczewski--Delaygue's conjecture concerning the degree of algebraicity modulo $p$ of $G$-functions. For this, we first make a Christol's result explicit by showing that if $f(z)$ is a $G$-function which is a solution of a differential operator in $\mathbb{Q}(z)[d/dz]$ of order $n$ which has a strong Frobenius structure with period $h$ for the prime number $p$ and that $f(z)$ belongs to $\mathbb{Z}_{(p)}[[z]]$, then the reduction of $f(z)$ modulo $p$ is algebraic over $\mathbb{F}_p(z)$ and its degree of algebraicity is bounded by $p^{n^2h}$. By generalizing an approach introduced by Salinier, we then show that a Fuchsian operator with coefficients in $\mathbb{Q}(z)$, whose monodromy group is rigid and whose exponents are rational has for almost all prime numbers $p$ a strong Frobenius structure with period $h$, where $h$ is explicitly bounded and does not depend on $p$. A slightly different version of this result has been demonstrated recently by Crew following a different approach based on the $p$-adic cohomology. We use these two results to solve the mentioned conjecture in the case of generalized hypergeometric series.

Structure de Frobenius forte, réduction modulo $p$, algébricité modulo $p$, équations différentielle $p$-adique, rigidité
Strong Frobenius structure, reduction modulo $p$, algrebraicity modulo $p$, $p$-adic differential equations, rigidity

Électronique
Prix public 20.00 €
Prix membre 14.00 €
Quantité
- +