Boules exceptionnellement petites dans les arbres stables
Exceptionally small balls in stable trees
Bulletin de la SMF | 2014

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- Année : 2014
- Fascicule : 2
- Tome : 142
- Format : Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 60G57, 60J80 ; 28A78
- Pages : 223-254
- DOI : 10.24033/bsmf.2664
Les arbres $\gamma $-stables sont des espaces métriques compacts à mesure aléatoire qui apparaissent en tant que limite de mise à l'échelle d'arbres de Galton-Watson dont les distributions sont situées dans un domaine $\gamma $-stable, $\gamma \in \,]1,2]$. Ils forment une spécifique des arbres de Lévy (introduite par Le Gall et Le Jan dans [?]) et le cas brownien $\gamma =2$ correspond aux arbres aléatoires du continuum d'Aldous (CRT). Dans cet article nous étudions les propriétés fines de la mesure de masse, qui est la mesure naturelle des arbres $\gamma $-stables. Nous discutons d'abord le minimum de la mesure de masse des boules de rayon $r$ et nous montrons que cette quantité est de l'ordre de $r^{\frac {\gamma }{\gamma -1}} (\log 1/r)^{-\frac {1}{\gamma -1}}$. Nous pensons qu'aucun résultat similaire n'est vrai pour le maximum des mesures de masse de boule de rayon $r$, sauf dans le cas brownien : quand $\gamma =2$ nous montrons que cette quantité est de l'ordre de $r^2 \log 1/r$. D'autre part, nous calculons la constante exacte de la densité local inférieure de la mesure de masse (et la supérieure pour le CRT), à la suite de résultats précédents de [?].
Arbre aléatoire du continuum, arbres de Lévy, arbres stables, mesure de masse, petites boules.