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Boules exceptionnellement petites dans les arbres stables

Exceptionally small balls in stable trees

Thomas Duquesne, Guanying Wang
Boules exceptionnellement petites dans les arbres stables
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  • Année : 2014
  • Fascicule : 2
  • Tome : 142
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60G57, 60J80 ; 28A78
  • Pages : 223-254
  • DOI : 10.24033/bsmf.2664
Les arbres $\gamma $-stables sont des espaces métriques compacts à mesure aléatoire qui apparaissent en tant que limite de mise à l'échelle d'arbres de Galton-Watson dont les distributions sont situées dans un domaine $\gamma $-stable, $\gamma \in \,]1,2]$. Ils forment une spécifique des arbres de Lévy (introduite par Le Gall et Le Jan dans [?]) et le cas brownien $\gamma =2$ correspond aux arbres aléatoires du continuum d'Aldous (CRT). Dans cet article nous étudions les propriétés fines de la mesure de masse, qui est la mesure naturelle des arbres $\gamma $-stables. Nous discutons d'abord le minimum de la mesure de masse des boules de rayon $r$ et nous montrons que cette quantité est de l'ordre de $r^{\frac {\gamma }{\gamma -1}} (\log 1/r)^{-\frac {1}{\gamma -1}}$. Nous pensons qu'aucun résultat similaire n'est vrai pour le maximum des mesures de masse de boule de rayon $r$, sauf dans le cas brownien : quand $\gamma =2$ nous montrons que cette quantité est de l'ordre de $r^2 \log 1/r$. D'autre part, nous calculons la constante exacte de la densité local inférieure de la mesure de masse (et la supérieure pour le CRT), à la suite de résultats précédents de [?].
The $\gamma $-stable trees are random measured compact metric spaces that appear as the scaling limit of Galton-Watson trees whose offspring distribution lies in a $\gamma $-stable domain, $\gamma \in (1, 2]$. They form a specific of Lévy trees (introduced by Le Gall and Le Jan in [?]) and the Brownian case $\gamma = 2$ corresponds to Aldous Continuum Random Tree (CRT). In this paper, we study fine properties of the mass measure, that is the natural measure on $\gamma $-stable trees. We first discuss the minimum of the mass measure of balls with radius $r$ and we show that this quantity is of order $r^{\frac {\gamma }{\gamma -1}} (\log 1/r)^{-\frac {1}{\gamma -1}}$. We think that no similar result holds true for the maximum of the mass measure of balls with radius $r$, except in the Brownian case : when $\gamma = 2$, we prove that this quantity is of order $r^2 \log 1/r$. In addition, we compute the exact constant for the lower local density of the mass measure (and the upper one for the CRT), which continues previous results from [?].
Arbre aléatoire du continuum, arbres de Lévy, arbres stables, mesure de masse, petites boules.
Continuum random tree, Lévy trees, stable trees, mass measure, small balls.