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Calcul fonctionnel de Weyl pour la mesure gaussienne et estimées $L^p$-$L^q$ restreintes du semigroupe d'Ornstein-Uhlenbeck en temps complexe

The Weyl calculus with respect to the Gaussian measure and restricted $L^p$-$L^q$ boundedness of the Ornstein-Uhlenbeck semigroup in complex time

Jan VAN NEERVEN, Pierre PORTAL
Calcul fonctionnel de Weyl pour la mesure gaussienne et estimées $L^p$-$L^q$ restreintes du semigroupe d'Ornstein-Uhlenbeck en temps complexe
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  • Année : 2018
  • Fascicule : 4
  • Tome : 146
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 47A60, 47D06, 47G30, 60H07, 81S05
  • Pages : 691-712
  • DOI : 10.24033/bsmf.2771

Ce papier introduit un calcul fonctionnel de Weyl $a \mapsto a(Q,P)$ adapté aux opérateurs de position et d'impulsion $Q$ et $P$ associés à l'opérateur d'Ornstein-Uhlenbeck $ L = -\Delta + x\cdot \nabla$, et fournit un critère simple pour prouver des estimées $L^p$-$L^q$ restreintes de ce calcul fonctionnel. L'analyse de ce calcul fonctionnel non-commutatif se révèle être plus simple que celle du calcul fonctionnel de~$L$. Ceci nous permet de redémontrer, d'unifier, et d'étendre des résultats anciens et nouveaux sur les propriétés de bornitude de $\exp(-zL)$ de $L^p(\mathbb{R}^d,\gamma_{\alpha})$ dans $L^q(\mathbb{R}^d,\gamma_{\beta})$ pour les valeurs appropriées de $z\in \mathbb{C}$ (avec $\textrm{Re} z>0$, $p,q\in [1,\infty)$, et $\alpha,\beta>0$). La notation $\gamma_\tau$ est utilisée pour le mesure Gaussienne centrée sur $\mathbb{R}^d$ de densité $(2\pi\tau)^{-d/2}\exp(-|x|^2/2\tau)$

In this paper, we introduce a Weyl functional calculus $a \mapsto a(Q,P)$ for the position and momentum operators $Q$ and $P$ associated with the Ornstein-Uhlenbeck operator $ L = -\Delta + x\cdot \nabla$, and give a simple criterion for restricted $L^p$-$L^q$ boundedness of operators in this functional calculus. The analysis of this non-commutative functional calculus is simpler than the analysis of the functional calculus of~$L$. It allows us to recover, unify, and extend old and new results concerning the boundedness of $\exp(-zL)$ as an operator from $L^p(\mathbb{R}^d,\gamma_{\alpha})$ to $L^q(\mathbb{R}^d,\gamma_{\beta})$ for suitable values of $z\in \mathbb{C}$ with $\textrm{Re}z>0$, $p,q\in [1,\infty)$, and $\alpha,\beta>0$. Here, $\gamma_\tau$ denotes the centered Gaussian measure on $\mathbb{R}^d$ with density $(2\pi\tau)^{-d/2}\exp(-|x|^2/2\tau)$

Calcul fonctionnel de Weyl, relations de commutation canoniques, estimées de Schur, opérateur d'Ornstein-Uhlenbeck, estimées $L^p$-$L^q$ restreintes, injections de Sobolev restreintes
Weyl functional calculus, canonical commutation relation, Schur estimate, Ornstein-Uhlenbeck operator, Mehler kernel, restricted $L^p$-$L^q$-boundedness, restricted Sobolev embedding
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