Dans cet article, troisième d'une série, nous terminons la vérification du fait suivant. La suite spectrale « du nerf », qui calcule la cohomologie du bord de la compactification de Borel–Serre d'une variété de Shimura $\mathrm {Sh}$, est une suite spectrale de structures de Hodge–de Rham mixtes sur le corps de définition de son modèle canonique. Pour le faire, nous développons la théorie de fibrés automorphes sur les variétés de Shimura mixtes, car de tels objets figurent dans le bord d'une compactification toroïdale de $\mathrm {Sh}$ ; et nous étudions la suite spectrale « du nerf » pour les fibrés automorphes et le bord toroïdal. En plus, nous généralisons nos résultats antérieurs sur la cohomologie avec conditions de croissance, qui permettent d'éviter les difficultés associées au changement de base. Enfin, nous énonçons et appliquons des formules pour la graduation de Hodge de la cohomologie de $\mathrm {Sh}$ et celle du bord de sa compactification de Borel–Serre.