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Déformations infinitésimales isospectrales de la grassmannienne des 3-plans dans $\mathbb R ^6$

Infinitesimal isospectral deformations of the Grassmannian of 3-planes in $\mathbb R ^6$

Jacques GASQUI, Hubert GOLDSCHMIDT
  • Année : 2007
  • Tome : 108
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 44A12, 53C35, 58A10, 58J53
  • Nb. de pages : vi+92
  • ISBN : 978-2-85629-232-7
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.420

Ce mémoire a pour cadre la grassmannienne $G^\mathbb R _{n,n}$ des $n$-plans de $\mathbb R ^{2n}$, avec $n\geq 3$, et son espace réduit $\bar G^\mathbb R _{n,n},$ qui est l'espace symétrique irréductible, quotient de $G^\mathbb R _{n,n}$ par l'involution envoyant un $n$-plan sur son orthogonal. Un de nos principaux résultats est la construction de déformations infinitésimales isospectrales non triviales sur $\bar G^\mathbb R _{3,3},$ obtenant ainsi le premier exemple d'espace symétrique irréductible réduit et non infinitésimalement rigide. Nous donnons aussi un critère d'exactitude pour les formes différentielles de degré 1 sur $\bar G^\mathbb R _{n,n},$ mettant en jeu la nullité d'une transformée de Radon.

We study the real Grassmannian $G^\mathbb R _{n,n}$ of $n$-planes in $\mathbb R ^{2n}$, with $n\ge 3$, and its reduced space. The latter is the irreducible symmetric space $\bar G^\mathbb R _{n,n}$, which is the quotient of the space $G^\mathbb R _{n,n}$ under the action of its isometry which sends a $n$-plane into its orthogonal complement. One of the main results of this monograph asserts that the irreducible symmetric space $\bar G^\mathbb R _{3,3}$ possesses non-trivial infinitesimal isospectral deformations ; it provides us with the first example of an irreducible reduced symmetric space which admits such deformations. We also give a criterion for the exactness of a form of degree one on $\bar G^\mathbb R _{n,n}$ in terms of a Radon transform.

Espace symétrique, grassmannienne, transformée de Radon, déformation isospectrale, forme symétrique, condition de Guillemin
Symmetric space, Grassmannian, Radon transform, infinitesimal isospectral deformation, symmetric form, Guillemin condition
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