Dans cet article, nous passons en revue les techniques géométriques et arithmétiques pour étudier la cohomologie des variétés hyperkählériennes semiprojectives, en particulier les variétés hyperkählériennes toriques, les variétés de carquois de Nakajima et les espaces de modules de fibrés de Higgs sur les surfaces de Riemann. Les formules obtenues pour leurs polynômes de Poincaré sont de nature combinatoire et liées à la théorie des représentations. En particulier, nous étudions leurs nombres de Betti et nous établissons des résultats et formulons quelques hypothèses sur leur comportement asymptotique.