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Comptage des fibrations en Lagrangiens spéciaux dans les familles de twisteurs des surfaces K3

Counting special Lagrangian fibrations in twistor families of K3 surfaces

Simion FILIP with an Appendix by Nicolas BERGERON and Carlos MATHEUS
Comptage des fibrations en Lagrangiens spéciaux dans les familles de twisteurs des surfaces K3
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 3
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14J28, 22F30, 53C26
  • Pages : 713-750
  • DOI : 10.24033/asens.2432

Le nombre de trajectoires fermées des billards dans un polygone à angles rationnels a une croissance quadratique comme fonction de la longueur. Cet article donne un analogue sur les surfaces K3, en considérant des tores Lagrangiens spéciaux. L'analogue de l'angle d'une trajectoire de billard est un point sur une sphère de twisteur, et le nombre de directions admettant une fibration en lagrangiens spéciaux avec un volume borné par $ V $ croit comme $ V ^ {20} $ avec un terme d'erreur. Bergeron-Matheus ont explicitement estimé l'exposant du terme d'erreur à $ {20- \frac {4} {697633}} $. Le comptage sur les surfaces K3 est déduit à partir d'un comptage de vecteurs isotropes primitifs dans des réseaux indéfinis, qui est à son tour déduit des résultats d'équidistribution en dynamique homogène.

The number of closed billiard trajectories in a rational-angled polygon grows quadratically in the length. This paper gives an analogue on K3 surfaces, by considering special Lagrangian tori.
The analogue of the angle of a billiard trajectory is a point on a twistor sphere, and the number of directions admitting a special Lagrangian torus fibration with volume bounded by $ V $ grows like $ V^{20} $ with a power-saving term. Bergeron-Matheus have explicitly estimated the exponent of the error term as~$ {20-\frac{4}{697633} }$. The counting result on K3 surfaces is deduced from a count of primitive isotropic vectors in indefinite lattices, which is in turn deduced from equidistribution results in homogeneous dynamics.

Surfaces K3, fibrations lagrangiennes, équidistribution
K3 surfaces, Lagrangian fibrations, equidistribution
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