Si $G$ est un groupe finiment engendré par des générateurs $\{g_1,\dots ,g_j\}$, un élément d'ordre infini $f\in G$ est un élément de distorsion de $G$ lorsque $\displaystyle {\liminf _{n\to \infty } |f^n|/n = 0}$, où $|f^n|$ est la longueur de $f^n$ comme mot en les générateurs. Nous présentons un panorama de nombreux résultats autour de cette notion et donnons des applications aux actions de groupes sur les surfaces, notamment dans le cas où une mesure de Lebesgue est préservée. Soit $S$ une surface fermée orientable et soit $\mbox {Diff}(S)_0$ la composante de l'identité dans le groupe des difféomorphismes de e $C^1$ de $S$. Un des résultats présentés affirme que si le genre de $S$ est au moins égal à $2$, et si $f$ est un élément de distorsion dans un sous-groupe de $\mbox {Diff}(S)_0$ finiement engendré, alors $\mbox {supp}(\mu ) \subset \mbox {Fix}(f)$ pour toute mesure de probabilité borélienne $\mu $ qui est invariante par $f$. Nous comparons également certains résultats obtenus pour les difféomorphismes de surfaces avec des résultats analogues pour les difféomorphismes du cercle.