SMF

Distorsion pour les groupes de difféomorphismes du cercle et des surfaces

Distortion in Groups of Circle and Surface Diffeomorphisms

John Franks
  • Année : 2006
  • Tome : 21
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37C85, 37E30, 37E10, 37E45
  • Pages : 35-52
Si $G$ est un groupe finiment engendré par des générateurs $\{g_1,\dots ,g_j\}$, un élément d'ordre infini $f\in G$ est un élément de distorsion de $G$ lorsque $\displaystyle {\liminf _{n\to \infty } |f^n|/n = 0}$, où $|f^n|$ est la longueur de $f^n$ comme mot en les générateurs. Nous présentons un panorama de nombreux résultats autour de cette notion et donnons des applications aux actions de groupes sur les surfaces, notamment dans le cas où une mesure de Lebesgue est préservée. Soit $S$ une surface fermée orientable et soit $\mbox {Diff}(S)_0$ la composante de l'identité dans le groupe des difféomorphismes de e $C^1$ de $S$. Un des résultats présentés affirme que si le genre de $S$ est au moins égal à $2$, et si $f$ est un élément de distorsion dans un sous-groupe de $\mbox {Diff}(S)_0$ finiement engendré, alors $\mbox {supp}(\mu ) \subset \mbox {Fix}(f)$ pour toute mesure de probabilité borélienne $\mu $ qui est invariante par $f$. Nous comparons également certains résultats obtenus pour les difféomorphismes de surfaces avec des résultats analogues pour les difféomorphismes du cercle.
If $G$ is a finitely generated group with generators $\{g_1,\dots ,g_j\}$ then an infinite order element $f \in G$ is a distortion element of $G$ provided $\displaystyle {\liminf _{n \to \infty } |f^n|/n = 0,}$ where $|f^n|$ is the word length of $f^n$ in the generators. We survey a number of results concerning this concept and its application to group actions on surfaces, especially those which preserve a Borel measure. Let $S$ be a closed orientable surface and let $\mbox {Diff}(S)_0$ denote the identity component of the group of $C^1$ diffeomorphisms of $S$. One of the results we discuss asserts that if $S$ has genus at least two and if $f$ is a distortion element in some finitely generated subgroup of $\mbox {Diff}(S)_0$, then $\mbox {supp}(\mu ) \subset \mbox {Fix}(f)$ for every $f$-invariant Borel probability measure $\mu $. We also compare results for surface diffeomorphisms with analogous results for the circle.
Élément de distorsion, difféomorphisme de surface, action de groupe
Distortion element, surface diffeomorphisms, group action