Cet article s'organise autour de trois directions fortement corrélées. La première donne une description de divers invariants topologiques associés à un flot préservant le volume sur une variété de dimension 3. Ces invariants sont reliés aux propriétés d'enlacement moyen asymptotique des orbites. La deuxième direction concerne l'étude de l'espace des configurations d'un fluide incompressible sur une variété orientée. Cet espace peut être paramétré par le groupe des difféomorphismes isotopes à l'identité, préservant une forme volume. Ce groupe est équipé d'une métrique naturelle invariante à droite que l'on étudie tant du point de vue global (diamètre du groupe) que du point de vue géodésique. Le cas des groupes de difféomorphismes préservant une forme symplectique est également abordé en suivant une même approche. Une attention toute particulière est portée au cas de la dimension 2 où les deux points de vue se rejoignent. Dans une troisième direction, on étudie la structure du groupe des difféomorphismes isotopes à l'identité et préservant une forme d'aire sur les surfaces compactes orientées. Selon le genre de la surface, on décrit le sous-groupe des commutateurs et on montre sur ce sous-groupe que la fonction longueur des commutateurs n'est pas bornée, un résultat obtenu en collaboration avec Étienne Ghys.