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Dynamique des polynômes quadratiques

Dynamics of quadratic polynomials

Jean-Christophe YOCCOZ, notes rédigées par Marguerite FLEXOR
Dynamique des polynômes quadratiques
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  • Année : 1999
  • Tome : 8
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 58Fxx, 34Cxx, 30Fxx
  • Pages : 187-222

Décrire le système dynamique défini par une fonction holomorphe, c'est étudier le comportement des orbites obtenues après itération de cette fonction et décrire comment celles-ci sont distribuées dans le plan. Le cas le plus simple non trivial est le cas des polynômes d'une variable complexe de degré $2$ qui est l'objet de ce texte. Cet article comporte trois paragraphes. Le premier est un survol de la théorie élémentaire du plan dynamique d'un polynôme et de l'espace des paramètres de la famille des polynômes quadratiques. Le second paragraphe est consacré aux aspects hyperboliques, autour du théorème de Jakobson. Le troisième paragraphe décrit les aspects quasi-périodiques, liés à des problèmes de petits diviseurs.

The study of the dynamical system associated to a holomorphic function consists of two aspects : behaviour of the orbits under iteration of this function and description of their distribution in the complex plane. The simplest nontrivial case is the case of quadratic polynomials in one complex variable. These form a family, the study of which is the subject of this article. The text is divided in three parts. The first one is a survey of the elementary theory of the dynamical plane of a polynomial and of the parameter space of quadratic polynomials. The second one is devoted to hyperbolic aspects, around Jakobson's Theorem. The third one is a description of quasiperiodic aspects, linked to small divisors problems.

Ensemble de Julia, ensemble de Mandelbrot, application à allure polynomiale, renormalisation, hyperbolicité, linéarisabilité, fonction de Brjuno, compact invariant, hérissons, anneaux de Herman
Julia set, Mandelbrot set, polynomial like mapping, renormalization, hyperbolicity, linearizability, Brjuno function, invariant compact, hedgehogs, Herman rings