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Exposé Bourbaki 1049 : Rang moyen des courbes elliptiques d'après Manjul Bhargava et Arul Shankar

Exposé Bourbaki 1049 : Average rank of elliptic curves after Manjul Bhargava and Arul Shankar

Bjorn POONEN
Exposé Bourbaki 1049 : Rang moyen des courbes elliptiques d'après Manjul Bhargava et Arul Shankar
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  • Année : 2013
  • Tome : 352
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G05, 11E76
  • Pages : 187-204

Bhargava et Shankar démontrent que lorsque $E$ varie sur toutes les courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$, le rang moyen du groupe abélien $E(\mathbb{Q})$ de type fini est borné.  Ce résultat découle d'une formule exacte de l'ordre moyen du $2$-groupe de Selmer, qui elle-même provient d'une formule asymptotique du nombre de formes quartiques binaires sur $\mathbb{Z}$ avec invariants bornés. Nous expliquons leur démonstration, ainsi que d'autres applications arithmétiques.

Bhargava and Shankar prove that as $E$ varies over all elliptic curves over $\mathbb{Q}$, the average rank of the finitely generated abelian group $E(\mathbb{Q})$ is bounded.  This result follows from an exact formula for the average size of the $2$\yh-Selmer group, which in turn follows from an asymptotic formula for the number of binary quartic forms over $\mathbb{Z}$ with bounded invariants.  We explain their proof, as well as other arithmetic applications.

Courbe elliptique, rang, groupe de Selmer, forme quartique binaire
Elliptic curve, rank, Selmer group, binary quartic form
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