SMF

Exposé Bourbaki 1049 : Rang moyen des courbes elliptiques d'après Manjul Bhargava et Arul Shankar

Exposé Bourbaki 1049 : Average rank of elliptic curves after Manjul Bhargava and Arul Shankar

Bjorn POONEN
Exposé Bourbaki 1049 : Rang moyen des courbes elliptiques d'après Manjul Bhargava et Arul Shankar
  • Consulter un extrait
  •  
                
  • Année : 2013
  • Tome : 352
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G05, 11E76
  • Pages : 187-204

Bhargava et Shankar démontrent que lorsque $E$ varie sur toutes les courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$, le rang moyen du groupe abélien $E(\mathbb{Q})$ de type fini est borné.  Ce résultat découle d'une formule exacte de l'ordre moyen du $2$-groupe de Selmer, qui elle-même provient d'une formule asymptotique du nombre de formes quartiques binaires sur $\mathbb{Z}$ avec invariants bornés. Nous expliquons leur démonstration, ainsi que d'autres applications arithmétiques.

Bhargava and Shankar prove that as $E$ varies over all elliptic curves over $\mathbb{Q}$, the average rank of the finitely generated abelian group $E(\mathbb{Q})$ is bounded.  This result follows from an exact formula for the average size of the $2$\yh-Selmer group, which in turn follows from an asymptotic formula for the number of binary quartic forms over $\mathbb{Z}$ with bounded invariants.  We explain their proof, as well as other arithmetic applications.

Courbe elliptique, rang, groupe de Selmer, forme quartique binaire
Elliptic curve, rank, Selmer group, binary quartic form

Électronique
Electronic
Prix public Public price 10.00 €
Prix membre Member price 7.00 €
Quantité
Quantity
- +