Bhargava et Shankar démontrent que lorsque $E$ varie sur toutes les courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$, le rang moyen du groupe abélien $E(\mathbb{Q})$ de type fini est borné.  Ce résultat découle d'une formule exacte de l'ordre moyen du $2$-groupe de Selmer, qui elle-même provient d'une formule asymptotique du nombre de formes quartiques binaires sur $\mathbb{Z}$ avec invariants bornés. Nous expliquons leur démonstration, ainsi que d'autres applications arithmétiques.