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Exposé Bourbaki 10671 : Nouveaux développements sur les valeurs des caractères des groupes symétriques; méthodes~combinatoires d'après V.~Féray, ...

Exposé Bourbaki 10671 : Catégorification des algèbres de Lie after V.~Féray

Pierre CARTIER
Exposé Bourbaki 10671 : Nouveaux développements sur les valeurs des caractères des groupes symétriques; méthodes~combinatoires d'après V.~Féray, ...
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  • Année : 2014
  • Tome : 361
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 05E10, 20B30, 20C15
  • Pages : 367-390

L'étude asymptotique des diagrammes de Young de grande taille a été entreprise à la fin du 20e siècle par l'École de Saint-Petersbourg (Vershik, Kerov, Okunkov). Les méthodes des probabilités "libres" ont été inventées par Voiculescu dans le but de contrôler les algèbres d'opérateurs liées aux groupes libres ; elles ont servi ensuite à l'étude des matrices aléatoires de grande taille, qui s'est révélée très importante tant en physique statistique que dans l'étude des zéros de la fonction zeta de Riemann. Plus récemment, elles ont été appliquées par Biane aux propriétés asymptotiques des permutations. Nous insisterons surtout sur les formules exactes qui sous-tendent ces formules asymptotiques, obtenues par les  collaborateurs de Biane (Sniady, Féray), et qui développent de nouveaux domaines de  la combinatoire (principalement les cartes planaires).

Saint-Petersburg gave precise results about the limiting shape of large random Young diagrams. The so-called "free probabilities'' invented by Voiculescu proved to be important in the understanding of many related phenomena: free groups in operator theory, random matrices of large size and their spectra, statistical physics, as well as the zeroes of the Riemann zeta function. More recently, these methods have been applied by Ph. Biane to the study of random permutations. In our talk, we shall insist on the exact formulas  underlying these asymptotic results; they have been mostly developed by Ph. Biane's collaborators: P. Sniady, V. Féray . Extensive use shall be made of the combinatorial methods connected with bipartite graphs, trees and maps.

Diagramme de Young, symétriseur de Young, graphe expanseur, carte, biparti, unicellulaire, partition, caractère, polynôme de Kerov
Young diagram, Young symetrizer, expanding graph, map, bipartite, unicellular, partition, character, Kerov polynomial

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