L'étude asymptotique des diagrammes de Young de grande taille a été entreprise à la fin du 20^e siècle par l'École de Saint-Petersbourg (Vershik, Kerov, Okunkov). Les méthodes des probabilités "libres" ont été inventées par Voiculescu dans le but de contrôler les algèbres d'opérateurs liées aux groupes libres ; elles ont servi ensuite à l'étude des matrices aléatoires de grande taille, qui s'est révélée très importante tant en physique statistique que dans l'étude des zéros de la fonction zeta de Riemann. Plus récemment, elles ont été appliquées par Biane aux propriétés asymptotiques des permutations. Nous insisterons surtout sur les formules exactes qui sous-tendent ces formules asymptotiques, obtenues par les  collaborateurs de Biane (Sniady, Féray), et qui développent de nouveaux domaines de  la combinatoire (principalement les cartes planaires).