En 1949, Loewner démontrait que, pour tout tore, l'aire $A$ et la longueur $L$ (appelée systole) de la plus petite courbe non homologue à zéro satisfont toujours l'inégalité ${A\over L^2}\geq \sqrt {3\over 2}$. C'est évidemment le début de tout un programme naturel : autres surfaces, dimensions plus grandes, etc. L'exposé sera consacré à ce que l'on sait aujourd'hui de ce programme