Si $\zeta _F$ est la fonction zêta d'un corps de nombre et $n$ un entier $\geq 2$, une conjecture de D. Zagier, motivée par des travaux antérieurs de A. Borel et S. Bloch, exprime $\zeta _F(n)$ à l'aide de valeurs prises par la fonction $n$-logarithme ique (en fait une variante uniforme), en les éléments de $F$ et leurs conjugués. Cette conjecture est démontrée pour $n=2,3$. La preuve repose sur des relations remarquables des polylogarithmes avec la $K$-théorie algébrique des corps, l'homologie du groupe linéaire et la géométrie projective. En particulier dans la preuve du cas $n=3$, par A.B. Goncharov, un rôle crucial est joué par un invariant de 6 points du plan projectif, en position générale, qui généralise le birapport.