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Exposé Bourbaki 851 : Fonctions $L$ $p$-adiques

Exposé Bourbaki 851 : $L$ $p$-adic functions

Pierre COLMEZ
Exposé Bourbaki 851 : Fonctions $L$ $p$-adiques
  • Année : 2000
  • Tome : 266
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11FXX-11GXX-11RXX-11SXX-14FXX-14GXX.
  • Pages : 21--58
  • DOI : 10.24033/ast.488

On dispose d'une description conjecturale du comportement des fonctions $L$ complexes de l'arithmétique en tous les entiers et on aimerait bien obtenir le même genre de résultats pour leurs avatars $p$-adiques dont l'existence même est, en général, conjecturale. L'exposé décrit une machine, due à Perrin-Riou, fournissant à la fois une construction des fonctions $L$ $p$-adiques et une information précise sur leur comportement aux entiers, le problème étant de trouver du carburant pour la faire marcher, ce que l'on ne sait faire que dans un nombre très limité de cas.

We have a complete conjectural description for the behaviour of arithmetical complex $L$-functions at integers ; we would like to have a similar picture for their $p$-adic analogs, whose mere existence is in general conjectural. In this text we describe a machine, due to Perrin-Riou, which simultaneously provides a construction of $p$-adic $L$-functions and a very precise description of their behaviour at integers. The difficulty is to find some fuel to make the machine work ; we know how to do this only in a very limited number of cases.

Fonctions $L$, valeurs spéciales, théorie d'Iwasawa, motifs, fonctions $L$ $p$-adiques, conjecture de Beilinson, lois de réciprocité, conjecture de Leopoldt
$L$ functions, special values, Iwasawa theory, $p$-adic $L$ functions, motives, Beilinson's conjecture, reciprocity laws, Leopoldt's conjecture
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