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Exposé Bourbaki 872 : Variétés de Fano réelles

Exposé Bourbaki 872 : Real Fano varieties

Viatcheslav KHARLAMOV
Exposé Bourbaki 872 : Variétés de Fano réelles
  • Année : 2002
  • Tome : 276
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53D12, 14P25
  • Pages : 189-206
  • DOI : 10.24033/ast.522

Les variétés de Fano sont les variétés à fibré anticanonique ample. Elles sont dominées par des familles de courbes rationnelles. Un cas particulier d'une conjecture de J. Kollàr affirme que la partie réelle d'une variété de Fano définie sur $\mathbb R$ et de dimension supérieure à trois n'admet aucune métrique à courbure strictement négative. Utilisant des méthodes de géométrie symplectique, C. Viterbo a montré cette conjecture dans le cas particulier où $b_2=1$ et la variété est dominée par des courbes rationnelles d'aire minimale : en étudiant le flot de Floer, il montre comment l'existence de courbes rationnelles entraîne celle de géodésiques fermées d'indice non nul sur la partie réelle.

The Fano varieties are the varieties with ample canonical bundle. They are covered by families of rational curves. A particular case of Kollàr's conjecture states that the real part of a Fano variety defined over $\Bbb R$ and having the dimension at least $3$ can not equipped with a metric of strictly negative curvature. Using methods of symplectic geometry, C. Viterbo proved the conjecture in the particular case when $b_2=1$ and the variety is covered by rational curves of minimal area : studying the Floer flow, he shows how the existence of rational curves imply that of closed geodesiques of nonzero index on the real part.

Variété algébrique réelle, variété symplectique, courbes rationnelles, variété de Fano, flot hamiltonien, trajectoire de Floer
Real algebraic variety, symplectic variety, rational curve, Fano variety, hamiltonian flow, Floer trajectory
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