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Exposé Bourbaki 998 : Le groupe de Cremona et ses sous-groupes de type fini

Exposé Bourbaki 998 : Finite type subgroups of the Cremona group

Charles FAVRE
Exposé Bourbaki 998 : Le groupe de Cremona et ses sous-groupes de type fini
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  • Année : 2010
  • Tome : 332
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14E07, 32H50, 22E40
  • Pages : 11-43

Le groupe $\mathrm{Cr}(2)$ des applications birationnelles du plan projectif complexe ou groupe de Cremona est un objet classique dont les propriétés restent encore assez mystérieuses.   S.~Cantat, J.~Deserti et S.~Lamy  se sont récemment intéressés aux sous-groupes de type fini de $\mathrm{Cr}(2)$. En montrant comment le groupe de Cremona agissait  par isométries sur un espace hyperbolique de dimension infinie, S.~Cantat a obtenu une classification grossière de ces  sous-groupes analogue à celles des sous-groupes discrets du groupe des isométries de l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^n$. On peut déduire
de ce fait  plusieurs conséquences importantes,  comme l'obstruction au plongement de certains groupes satisfaisant la propriété~(T) de Kazhdan ou le fait que $\mathrm{Cr}(2)$ vérifie l'alternative de Tits.

The group $\mathrm{Cr}(2)$ of birational maps of the complex plane also known as the Cremona group is a classical object whose properties remain somewhat mysterious. Recently S.~Cantat, J.~Deserti and S.~Lamy  initiated the study of subgroups of $\mathrm{Cr}(2)$ of finite type.  In particular, S.~Cantat showed that the Cremona group acts by isometries on the infinite dimensional hyperbolic space. It enabled him to obtain a coarse classification of subgroups of $\mathrm{Cr}(2)$ of finite type analogous to the one of discrete subgroups of isometries of the hyperbolic space $\mathbb{H}^n$. This result has several important consequences, and can be used to find obstructions for some Kazhdan groups to embed in the Cremona group, or to prove that   $\mathrm{Cr}(2)$ satisfies Tits' alternative.

Groupe de Cremona, application birationnelle, espace métrique hyperbolique
Cremona group, birational map, hyperbolic metric space
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