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Exposé Bourbaki 998 : Le groupe de Cremona et ses sous-groupes de type fini

Exposé Bourbaki 998 : Finite type subgroups of the Cremona group

Charles FAVRE
Exposé Bourbaki 998 : Le groupe de Cremona et ses sous-groupes de type fini
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  • Année : 2010
  • Tome : 332
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14E07, 32H50, 22E40
  • Pages : 11-43

Le groupe Cr(2) des applications birationnelles du plan projectif complexe ou groupe de Cremona est un objet classique dont les propriétés restent encore assez mystérieuses.   S.~Cantat, J.~Deserti et S.~Lamy  se sont récemment intéressés aux sous-groupes de type fini de Cr(2). En montrant comment le groupe de Cremona agissait  par isométries sur un espace hyperbolique de dimension infinie, S.~Cantat a obtenu une classification grossière de ces  sous-groupes analogue à celles des sous-groupes discrets du groupe des isométries de l'espace hyperbolique Hn. On peut déduire
de ce fait  plusieurs conséquences importantes,  comme l'obstruction au plongement de certains groupes satisfaisant la propriété~(T) de Kazhdan ou le fait que Cr(2) vérifie l'alternative de Tits.

The group Cr(2) of birational maps of the complex plane also known as the Cremona group is a classical object whose properties remain somewhat mysterious. Recently S.~Cantat, J.~Deserti and S.~Lamy  initiated the study of subgroups of Cr(2) of finite type.  In particular, S.~Cantat showed that the Cremona group acts by isometries on the infinite dimensional hyperbolic space. It enabled him to obtain a coarse classification of subgroups of Cr(2) of finite type analogous to the one of discrete subgroups of isometries of the hyperbolic space Hn. This result has several important consequences, and can be used to find obstructions for some Kazhdan groups to embed in the Cremona group, or to prove that   Cr(2) satisfies Tits' alternative.

Groupe de Cremona, application birationnelle, espace métrique hyperbolique
Cremona group, birational map, hyperbolic metric space

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