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Exposé Bourbaki 999 : Convexes divisibles

Exposé Bourbaki 999 : Convexes divisibles

Jean-François QUINT
Exposé Bourbaki 999 : Convexes divisibles
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  • Année : 2010
  • Tome : 332
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20F55, 20F67, 20G20, 20J06, 20H15, 22E40, 22E45, 30C65, 37D20, 37D40, 52A20, 53A20, 53C23, 57N10, 57S30
  • Pages : 45-73

Un ouvert convexe convexe $\Omega$ d'un espace projectif réel de dimension finie est dit saillant si son adhérence est contenue dans le complémentaire d'un hyperplan projectif. Un tel convexe est dit divisible s'il existe un groupe discret $\Gamma$ d'automorphismes projectifs tel que $\Gamma$ stabilise $\Omega$ et que le quotient de $\Omega$ par $\Gamma$ soit compact. L'étude des convexes divisibles, initiée par Benzécri, Koszul et Vey dans les années 1960, a repris ces dernières années de l'actualité, grâce à des apports conceptuels nouveaux, notamment en provenance de la géométrie à courbure négative et des systèmes dynamiques. Dans cet exposé, nous présenterons des résultats issus de la série d'articles qu'Yves Benoist a récemment consacrée à ce sujet en nous concentrant sur trois points principaux : la structure de l'espace des représentations d'un groupe donné qui divisent un convexe, les propriétés d'hyperbolicité des convexes divisibles et la construction d'exemples nouveaux, au moyen de groupes de Coxeter.

A convex open set $\Omega$ of some finite dimensional real projective space is said to be properly convex if its closure is contained in the complement of some projective hyperplane. Such a convex set is said to be divisible if there exists a discrete group $\Gamma$ of projective automorphisms such that $\Gamma$ stabilizes $\Omega$ and the quotient of $\Omega$ by $\Gamma$ is compact. The study of divisible convex sets, initiated by Benz\'ecri, Koszul and Vey in the 60s, has found a new impulse these last years, thanks to new conceptual inputs, coming in particular from non-positively curved geometry and dynamical systems. In this talk, we shall present results from the series of articles Yves Benoist recently devoted to this subject, focusing on three major topics : hyperbolic properties of divisible convex sets, the structure of the space of representations of a given group that divide a convex set and the construction of new examples using Coxeter groups.

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