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Exposé Bourbaki 1000 : Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis

Exposé Bourbaki 1000 : The Cremona group and its finite subgroups

Jean-Pierre SERRE
Exposé Bourbaki 1000 : Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis
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  • Année : 2010
  • Tome : 332
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11Gxx, 14Exx, 20Fxx
  • Pages : 75-100

Soit $k$ un corps. Le groupe de Cremona ${\rm Cr}_2(k)$ est le groupe des $k$-automorphismes de $k(X,Y)$ (= applications birationnelles inversibles du plan projectif dans lui-même). Ce n'est pas un groupe algébrique, mais il ressemble par certains aspects à un groupe semi-simple de rang 2. Jusqu'où va cette analogie ? On se propose de la discuter du point de vue des sous-groupes finis de ${\rm Cr}_2(k)$,  en insistant sur l'aspect arithmétique : $k = {\mathbf {Q}}$ ou $k =$ corps fini. Les démonstrations sont de nature géométrique : elles utilisent la théorie des modèles minimaux et la classification des surfaces de del Pezzo.

Let $k$  be a field. The Cremona group  Cr$_2(k)$ is the group of $k$-automorphisms of $k(X,Y)$, i.e. the group of all birational $k$-automorphisms of the projective plane. It is not an algebraic group but it has some similarities with a semisimple group of rank 2. We discuss two questions where these similarities are apparent: the fusion in the standard 2-dimensional torus, and the orders of the finite subgroups of Cr$_2(k)$ when  $k$  is a ``small'' field such as ${\mathbf {Q}}$ or a finite field.

Groupe de Cremona, fusion, surface de Del Pezzo, fibré en coniques, borne de Minkowski, sous-groupe fini
Cremona group, fusion, Del Pezzo surface, conic bundle, Minkowski bound, finite subgroup
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