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Exposé Bourbaki 1003 : La conjecture de Weinstein en dimension $3$ d'après Brendle-Schoen

Exposé Bourbaki 1003 : The differentiable sphere theorem after S. Brendle and R. Schoen

Gérard BESSON
Exposé Bourbaki 1003 : La conjecture de Weinstein en dimension $3$ d'après Brendle-Schoen
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  • Année : 2010
  • Tome : 332
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53C44, 53C20, 58A05
  • Pages : 161-181

Le théorème dit \og de la sphère\fg{} affirme qu'une variété riemannienne simplement connexe de courbure positive dont le rapport entre le minimum et le maximum de la courbure sectionnelle est strictement plus grand que $1/4$ est homéomorphe à une sphère. Notons que la valeur $1/4$ est celle de ce rapport pour les espaces projectifs complexes de dimension complexe supérieure ou égale à deux.
Ce résultat a été finalement obtenu, à la suite d'un article séminal de H.E.~Rauch en 1951, dans les années soixante par M.~Berger et W.~Klingenberg. Pour passer de l'homéomorphisme au difféomorphisme il a fallu attendre le travail récent de S.~Brendle et R.~Schoen. La preuve utilise le flot de Ricci de R.~Hamilton (version sans chirurgie) et une approche développée par Ch.~Böhm et B.~Wilking.

The so-called  ``sphere theorem'' asserts that a positively curved simply connected Riemannian manifold such that the ratio between the minimum and the maximum of the sectional curvature is greater than $1/4$ is homeomorphic to a sphere. Notice that  $1/4$ is the value of this ratio for the complex projectif spaces of complex dimension greater than one. This result was eventually proved in the sixties by M.~Berger and W.~Klingenberg, following a seminal article by H.E.~Rauch in 1951. It is only recently that S.~Brendle and R.~Schoen were able to prove that such a manifold is indeed diffeomorphic to a sphere; this is the differentiable sphere theorem that we shall describe in this note. The proof uses the Ricci flow, introduced by R.~Hamilton and an approach developped by Ch.~Böhm and B.~Wilking.

Pincement, flot de Ricci, courbure isotrope
Pinching, Ricci flow, isotropic curvature
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