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Exposé Bourbaki 1005 : Formes modulaires topologiques d'après Hopkins, Miller, and Lurie

Exposé Bourbaki 1005 : Topological modular forms after Hopkins, Miller, and Lurie

Paul G. GOERSS
Exposé Bourbaki 1005 : Formes modulaires topologiques d'après Hopkins, Miller, and Lurie
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  • Année : 2010
  • Tome : 332
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 55N34, 14H52, 14K10, 55N22, 55Q10

Au début des années 1970, Quillen a découvert un lien étroit entre les groupes de Lie formels et les théories cohomologiques possédant une théorie naturelle de classes de Chern. La géométrie algébrique de ces groupes permet de prédire des phénomènes à large échelle en théorie de l'homotopie stable, mais il manquait jusqu'à récemment un cadre mathématique pour faire des parallèles précis. Ceci a maintenant changé avec l'arrivée à maturité de la théorie de la \og géométrie algébrique dérivée\fg{} dont l'origine remonte aux travaux de Serre et Illusie. Une pièce maîtresse de cette nouvelle théorie est le travail de Hopkins-Miller-Lurie sur les \og{}formes modulaires topologiques\fg{} qui montre que l'espace des modules de Deligne-Mumford pour les courbes elliptiques a son pendant canonique en géométrie algébrique dérivée. Ceci a eu un grand impact en théorie de l'homotopie mais a aussi permis de découvrir certains phénomènes nouveaux en géométrie ; par exemple, \og l'espace des modules dérivé\fg{} de Deligne-Mumford fait apparaître clairement une forme très forte de la dualité de Serre qui n'est pas immédiatement visible pour l'espace de modules classique.

In the early 1970s, Quillen discovered a strong connection between formal Lie groups and cohomology theories with a natural theory of Chern classes. The algebraic geometry of these Lie groups allowed us to make predictions about large scale phenomena in stable homotopy theory, but until recently we lacked a mathematical framework for making precise comparisons. This has now changed with the emergence of derived algebraic geometry from its roots in work of Serre and Illusie into a mature theory. A centerpiece of this new theory is the Hopkins-Miller-Lurie work on topological modular forms, from which we learn that the Deligne-Mumford moduli space for elliptic curves is canonically realized as an object in derived algebraic geometry. This has had a large impact in homotopy theory, but we have also discovered some new phenomena in geometry; for example, the derived Deligne-Mumford moduli space exhibits a very strong form of Serre duality not immediately apparent in the underlying classical moduli space.

Courbes elliptiques, géométrie algébrique dérivée, champs de modules
Elliptic curves, derived algebraic geometry, moduli stacks
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