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Exposé Bourbaki 1007 : Un théorème de la limite centrale pour les ensembles convexes d'après Klartag et Fleury-Guédon-Paouris

Exposé Bourbaki 1007 : A central limit theorem for convex sets According to Klartag and Fleury-Guédon-Paouris

Franck BARTHE
Exposé Bourbaki 1007 : Un théorème de la limite centrale  pour les ensembles convexes d'après Klartag et Fleury-Guédon-Paouris
  • Année : 2010
  • Tome : 332
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 52A38, 52A20, 60D05, 60F05
  • Pages : 287-304

On considère un vecteur aléatoire $X$ uniformément distribué sur un ensemble convexe de l'espace euclidien de dimension $n$. On suppose que sa matrice de covariance est multiple de l'identité. Alors la grande majorité des marginales de dimension 1 de la loi de $X$ sont proches d'une même loi gaussienne et les estimations s'améliorent lorsque la dimension $n$ tend vers l'infini. Le point crucial de la preuve consiste à montrer que la norme euclidienne de $X$ ne dévie de sa valeur moyenne qu'avec une probabilité très faible. Ce résultat, démontré indépendamment par Klartag et Fleury-Guédon-Paouris, répond à une conjecture importante en géométrie asymptotique.

Consider a random vector $X$ with uniform distribution on a convex subset of the $n$-dimensional Euclidean space. Assume that its covariance matrix is a multiple of the identity. Then most  of the one-dimensional marginals of the law of $X$ are close to a common Gaussian distribution, and the estimates improve as the dimension tends to infinity. The crucial point in the proof is to show that the Euclidean norm of $X$ deviates from its mean value only with very small probability. This result, proved independently by Klartag and Fleury-Guédon-Paouris, settles an important conjecture in asymptotic geometry.

Marginales presque gaussiennes, corps convexes, mesures log-concaves, concentration
Gaussian marginals, convex bodies, log-concave measures, concentration
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