On considère un vecteur aléatoire $X$ uniformément distribué sur un ensemble convexe de l'espace euclidien de dimension $n$. On suppose que sa matrice de covariance est multiple de l'identité. Alors la grande majorité des marginales de dimension 1 de la loi de $X$ sont proches d'une même loi gaussienne et les estimations s'améliorent lorsque la dimension $n$ tend vers l'infini. Le point crucial de la preuve consiste à montrer que la norme euclidienne de $X$ ne dévie de sa valeur moyenne qu'avec une probabilité très faible. Ce résultat, démontré indépendamment par Klartag et Fleury-Guédon-Paouris, répond à une conjecture importante en géométrie asymptotique.