SMF

Exposé Bourbaki 1009 : Régularité du transport optimal d'après Ma-Trudinger-Wang and Loeper

Exposé Bourbaki 1009 : Regularity of optimal transport maps after Ma-Trudinger-Wang and Loeper

Alessio FIGALLI
Exposé Bourbaki 1009 : Régularité du transport optimal d'après Ma-Trudinger-Wang and Loeper
  • Consulter un extrait
  •  
                
  • Année : 2010
  • Tome : 332
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35J60, 35B65, 53C21, 49Q20
  • Pages : 341-368

Dans les années 90, la question de la régularité du transport optimal dans le cas "coût$\,=\,$distance au carré" sur $\mathbb{R}^n$ fut résolue par Caffarelli. Il demeurait cependant important de comprendre la régularité du transport optimal pour des coûts plus généraux, ainsi que dans le cas " coût$\,=\,$distance au carré" sur une variété riemannienne. Ma-Trudinger-Wang (2005) et Loeper (2007) réalisèrent une avancée décisive en mettant en évidence une condition suffisante et nécessaire sur la fonction de coût pour assurer la régularité du transport optimal. Cette condition, appelée "condition MTW", fait intervenir les dérivées de la fonction coût jusqu'au quatrième ordre. Dans le cas particulier où "coût$\,=\,$distance au carré"  sur une variété riemannienne, la condition MTW équivaut à la positivité d'un nouveau tenseur de courbure: le "tenseur MTW". De plus, elle a de fortes répercussions géométriques sur la variété et sur la structure de son lieu de coupure.

The issue of regularity of optimal transport maps in the case ``cost$\,=\,$squared distance'' on $\mathbb R^n$ was solved by Caffarelli in the 1990s. However, a major open problem in the theory was the question of regularity for more general cost functions, or for the case ``cost$\,=\,$squared distance'' on a Riemannian manifold. A breakthrough to this problem has been achieved by Ma-Trudinger-Wang (2005) and Loeper (2007), who found a necessary and sufficient condition on the cost function in order to ensure the regularity of the optimal map. This condition, now called MTW condition, involves a combination of derivatives of the cost, up to the fourth order. In the special case ``cost$\,=\,$squared distance'' on a Riemannian manifold, the MTW condition corresponds to ask for the non-negativity of a new curvature tensor on the manifold (the so-called MTW tensor), and it implies strong geometric consequences on the geometry of the manifold and on the structure of its cut-locus.

Transport optimal, équations du type Monge-Ampère, estimations a priori, courbure et géométrie riemannienne, lieu de coupure
Optimal transport, Monge-Ampère type equations, a priori estimates, curvature and Riemannian geometry, cut-locus

Électronique
Electronic
Prix public Public price 10.00 €
Prix membre Member price 7.00 €
Quantité
Quantity
- +