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Exposé Bourbaki 1006 : Corps de classes des schémas arithmétiques

Exposé Bourbaki 1006 : Class fields of arithmetic schemes

Tamás SZAMUELY
Exposé Bourbaki 1006 : Corps de classes des schémas arithmétiques
  • Année : 2010
  • Tome : 332
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11G45, 14G25, 11R37
  • Pages : 257-286

La théorie des corps de classes globale classique décrit les revêtements finis abéliens d'un ouvert du spectre de l'anneau des entiers d'un corps de nombres ou d'une courbe algébrique lisse sur un corps fini au moyen des sous-groupes ouverts d'indice fini du groupe de classes d'idèles associé. À partir de la fin des années 1970, une généralisation aux schémas réguliers de type fini sur  ${\bf Z}$ a été initiée par Parshin et Bloch, puis développée par Kato et Saito. Récemment Wiesend a trouvé une autre approche nettement plus simple, revue et complétée par Schmidt et Kerz. Elle donne également une nouvelle preuve de la finitude du groupe de Chow des zéro-cycles d'un schémaarithmétique qui n'utilise pas la $K$-théorie.

Given an open subscheme of the spectrum of the ring of integers of a number field or a smooth algebraic curve over a finite field, classical global class field theory gives a description of its finite abelian covers via finite index open subgroups of the associated idèle class group. From the end of the 1970s a generalisation of the theory to regular schemes of finite type over ${\bf Z}$ was started by Parshin and Bloch and developed by Kato and Saito. Recently Wiesend found a substantially simpler approach, completed by Schmidt and Kerz. It also yields a new proof of the finiteness of the Chow group of zero-cycles of an arithmetic scheme that does not use $K$-theory.

Corps de classes, schéma arithmétique, groupe fondamental abélianisé, zéro-cycles
Class field theory, arithmetic scheme, abelianised fundamental group, zero-cycle
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