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Extensions aux représentations supersingulières de $\mathrm {GL}_2(\mathbb Q_p)$

Extensions for supersingular representations of $\mathrm {GL}_2(\mathbb Q_p)$

Vytautas PASKUNAS
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  • Année : 2010
  • Tome : 331
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22E50, 11F70
  • Pages : 317-353
  • DOI : 10.24033/ast.893

Soit $p>2$ un nombre premier. Soient $G:=\mathrm {GL}_2(\mathbb Q_p)$ et $\pi $, $\tau $ des représentations lisses irréductibles de $G$ sur des $\overline {\mathbb {F}}_{p}$-espaces vectoriels avec caractère central. Nous montrons que si $\pi $ est supersingulière alors $\mathrm {Ext}^1_G(\tau ,\pi )\neq 0$ implique $\tau \cong \pi $ et nous calculons la dimension de $\mathrm {Ext}^1_G(\pi , \pi )$. Cela répond par l'affirmative pour $p>2$ à une question de Colmez. Nous déterminons aussi $\mathrm {Ext}^1_G(\tau ,\pi )$, quand $\pi $ est la représentation de Steinberg. En conséquence de nos résultats, combinés avec ceux de la litérature, nous connaissons maintenant les extensions entre toutes les représentations irréductibles de $G$.

Let $p>2$ be a prime number. Let $G:=\mathrm {GL}_2(\mathbb Q_p)$ and $\pi $, $\tau $ smooth irreducible representations of $G$ on $\overline {\mathbb {F}}_{p}$-vector spaces with a central character. We show if $\pi $ is supersingular then $\mathrm {Ext}^1_G(\tau ,\pi )\neq 0$ implies $\tau \cong \pi $ and compute the dimension of $\mathrm {Ext}^1_G(\pi , \pi )$. This answers affirmatively for $p>2$ a question of Colmez. We also determine $\mathrm {Ext}^1_G(\tau ,\pi )$, when $\pi $ is the Steinberg representation. As a consequence of our results combined with those already in the literature one knows the extensions between all the irreducible representations of $G$.

Supersingularités, correspondance Langlands mod $p$
Supersingular, mod $p$ Langlands correspondence