Nous étudions les extensions quadratiques réelles du corps rationnel sur un corps fini de caractéristique $2$. On rappelle la forme générale de telles extensions puis on donne une approche géométrique de l'algorithme des fractions continues qui permet de calculer le régulateur. Enfin on s'intéresse aux extensions quadratiques réelles dont le nombre de es d'idéaux de l'anneau des entiers est égal à un et on donne un grand nombre d'exemples pour lesquels cette situation est réalisée.