Feuilletages complexes avec ensemble limite algébrique
Complex foliations with algebraic limit sets
- Année : 2000
- Tome : 261
- Format : Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 32L30, 58F18
- Pages : 57-88
- DOI : 10.24033/ast.469
Nous considérons le problème de la ification des feuilletages projectifs complexes ayant un ensemble limite algébrique. Nous démontrons le résultat suivant : Soit $\mathcal {F}$ un feuilletage holomorphe par des courbes dans le plan projectif complexe ${\mathbb C}P(2)$ dont l'ensemble limite se compose d'une courbe algébrique $\Lambda $ et de singularités. Si les singularités $\rm {sing}\, \mathcal {F} \cap \Lambda $ sont génériques alors ou bien $\mathcal {F}$ est donné par une $1$-forme rationnelle fermée ou bien $\mathcal {F}$ est l'image réciproque par une application rationnelle d'un feuilletage de Riccati $\mathcal {R}: p(x) dy - (a(x) y ^2 + b(x) y)dx=0$ (où $\Lambda $ correspond à $\overline {(y=0)}\cup \overline {(p(x)=0)}$) dans $\overline {\mathbb {C}}\times \overline {\mathbb {C}}$. La preuve repose sur la résolubilité des groupes d'holonomie généralisée associés à un processus de réduction des singularités de $\rm {sing}\, \mathcal {F} \cap \Lambda $ et sur la construction d'une structure affine transverse à $\mathcal {F}$ en dehors de la courbe algébrique invariante contenant $\Lambda $.