SMF

Fibrations lagrangiennes spéciales, symétrie miroir et revêtements doubles de Calabi-Yau

Special Lagrangian fibrations, mirror symmetry and Calabi-Yau double covers

Denis Auroux
  • Année : 2008
  • Tome : 321
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14J32, 53D12
  • Pages : 99-128
  • DOI : 10.24033/ast.788
La première partie de cet article concerne la conjecture de Strominger-Yau-Zaslow dans diverses situations. En particulier nous décrivons comment, étant donnés une variété kählerienne $X$ et un diviseur anticanonique $D$, un miroir de $X$ dans la catégorie des modèles de Landau-Ginzburg peut être construit en considérant une famille de tores lagrangiens spéciaux dans $X\setminus D$ et en comptant des disques holomorphes dans $X$. La seconde partie est consacrée à des considérations plus spéculatives concernant les variétés de Calabi-Yau équipées d'une involution holomorphe et leurs quotients. Autrement dit, étant donnée une hypersurface $H$ représentant le double de la e anticanonique dans une variété kählerienne $X$, nous tentons d'établir un lien entre les fibrations lagrangiennes spéciales sur $X\setminus H$ et sur le revêtement double de $X$ ramifié le long de $H$, qui est une variété de Calabi-Yau ; malheureusement, les conséquences pour la symétrie miroir sont loin d'être évidentes.
The first part of this paper is a review of the Strominger-Yau-Zaslow conjecture in various settings. In particular, we summarize how, given a pair $(X,D)$ consisting of a Kähler manifold and an anticanonical divisor, families of special Lagrangian tori in $X\setminus D$ and weighted counts of holomorphic discs in $X$ can be used to build a Landau-Ginzburg model mirror to $X$. In the second part we turn to more speculative considerations about Calabi-Yau manifolds with holomorphic involutions and their quotients. Namely, given a hypersurface $H$ representing twice the anticanonical in a Kähler manifold $X$, we attempt to relate special Lagrangian fibrations on $X\setminus H$ and on the (Calabi-Yau) double cover of $X$ branched along $H$ ; unfortunately, the implications for mirror symmetry are far from clear.
Symétrie miroir, fibrations lagrangiennes speciales, conjecture de Strominger-Yau-Zaslow, revêtements doubles de Calabi-Yau
Mirror symmetry, special Lagrangian fibrations, Strominger-Yau-Zaslow conjecture, Calabi-Yau double covers
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