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Géométrie et topologie des espaces-temps lorentziens complets à courbure constante

Geometry and topology of complete Lorentz spacetimes of constant curvature

Jeffrey Danciger, François Guéritaud, Fanny Kassel
Géométrie et topologie des espaces-temps lorentziens complets à courbure constante
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  • Année : 2016
  • Fascicule : 1
  • Tome : 49
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 20H10, 53C50, 57M50, 57M60
  • Pages : 1-56
  • DOI : 10.24033/asens.2275
Nous étudions les actions propres, par isométries, de groupes discrets non virtuellement résolubles $\Gamma $ sur l'espace de Minkowski $\mathbb R ^{2,1}$, en les voyant comme limites d'actions sur l'espace anti-de Sitter $\mathrm {AdS}^3 $. À une telle action sur $\mathbb R ^{2,1}$ est associée une déformation infinitésimale, dans $\mathrm {SO} (2,1)$, du groupe fondamental d'une surface hyperbolique $S$. Lorsque $S$ est convexe cocompacte, nous montrons que $\Gamma $ agit proprement sur $\mathbb R ^{2,1}$ si et seulement si cette déformation au niveau du groupe est réalisée par une déformation de $S$ qui contracte uniformément ou dilate uniformément toutes les distances. Nous donnons deux applications dans ce cas. (1) Sagesse topologique : un espace-temps plat complet est homéomorphe à l'intérieur d'une variété compacte à bord. (2) Transition géométrique : un espace-temps plat complet est la limite renormalisée d'espaces-temps $\mathrm {AdS} $ qui dégénèrent.
We study proper, isometric actions of non virtually solvable discrete groups $\Gamma $ on the $3$-dimensional Minkowski space $\mathbb R ^{2,1}$, viewing them as limits of actions on the $3$-dimensional anti-de Sitter space $\mathrm {AdS}^3 $. To each such action on $\mathbb R ^{2,1}$ is associated an infinitesimal deformation, inside $\mathrm {SO} (2,1)$, of the fundamental group of a hyperbolic surface $S$. When $S$ is convex cocompact, we prove that $\Gamma $ acts properly on $\mathbb R ^{2,1}$ if and only if this group-level deformation is realized by a deformation of $S$ that uniformly contracts or uniformly expands all distances. We give two applications in this case. (1) Tameness : A complete flat spacetime is homeomorphic to the interior of a compact manifold with boundary. (2) Geometric transition : A complete flat spacetime is the rescaled limit of collapsing $\mathrm {AdS} $ spacetimes.
Géométrie lorentzienne, variétés anti-de Sitter, espaces-temps de Margulis, géométrie affine, sagesse topologique, transition géométrique
Lorentzian geometry, anti-de Sitter manifolds, Margulis spacetimes, affine geometry, topological tameness, geometric transition.
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