SMF

Invariance par homotopie des hautes signatures “twistées” sur des variétés à bord

Homotopy invariance of twisted higher signatures on manifolds with boundary

Eric Leichtnam, Paolo Piazza
Invariance par homotopie des hautes signatures “twistées” sur des variétés à bord
  • Année : 1999
  • Fascicule : 2
  • Tome : 127
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 58~G~12, 46~L~87, 58~G~15
  • Pages : 307-331
  • DOI : 10.24033/bsmf.2350
Soit $M$ une variété compacte orientée à bord. On suppose que $\pi _1(M)$ est le produit d'un groupe fini non trivial $F$ et d'un groupe $\Gamma $ qui est soit à croissance polynomiale, soit hyperbolique au sens de Gromov. On se donne une représentation non triviale $\rho : F\rightarrow U(\ell )$ et on considère le fibré plat unitaire associé $E_\rho $. On désigne par $\widetilde M$ le revêtement universel de $M$ et on considère le revêtement $\Gamma $-galoisien $\pi :\widetilde M/F\to M$, le fibré plat relevé $\widetilde E_\rho =\pi ^*(E_\rho )$ et l'opérateur de signature « twisté »associé. Sous l'hypothèse supplémentaire que l'opérateur de signature « twisté »induit sur le bord de $\widetilde M/F$ est $L^2$-inversible, Lott a introduit dans [L2] les hautes signatures « twistées »de $M$. Notre résultat principal – une réponse positive à une conjecture de type Novikov pour les variétés à bord – est que ce sont des invariants d'homotopie de la paire $(M,\partial M)$. La preuve dépend de manière essentielle du $b\, $-$\mathcal {B}^\infty $-calcul pseudodifférentiel développé dans [LP1], du théorème d'indice supérieur APS de [LP1] (étendu ici au cas des groupes hyperboliques au sens de Gromov) et du résultat ique de Kaminker-Miller énonçant l'égalité des es d'indices associées à deux complexes hermitiens de Fredholm homotopiquement équivalents.
Let $M$ be an oriented compact manifold with boundary. We assume that $\pi _1(M)$ is the product of a non-trivial finite group $F$ and of a group $\Gamma $ which is either of polynomial growth or Gromov hyperbolic. We fix a non-trivial representation $\rho : F\rightarrow U(\ell )$ and let $E_\rho $ be the associated unitary flat bundle on $M$. We denote by $\widetilde M$ the universal cover of $M$ and we consider the $\Gamma $-Galois covering $\pi : \smash {\widetilde {M}}/F\rightarrow M$, the lifted flat bundle $\smash {\widetilde {E}}_\rho =\pi ^*(E_\rho )$ and the associated twisted signature operator. Under the additional assumption that the induced twisted signature operator on the boundary of $\smash {\widetilde {M}}/F$ is $L^2$-invertible, Lott has introduced in [L2] the twisted higher signatures of $M$ ; our main result, a positive answer to a form of Novikov conjecture on manifolds with boundary, is that these are homotopy invariants of the pair $(M, \partial M)$. The proof depends heavily on the $b$-$\mathcal {B}^\infty $-pseudodifferential calculus developed in [LP1], on the higher APS index theorem of [LP1] (here extended so as to cover Gromov-hyperbolic groups) and on a ical result of Kaminker-Miller, stating the equality of the index es associated to two homotopy-equivalent hermitian Fredholm complexes.
homotopy invariants, higher signatures, signature operator, $L$- , universal cover, Atiyah-Patodi-Singer higher index theory, higher eta invariants, $b$-pseudodifferential calculus
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