En 2000, Biran a introduit les polarisations de variétés symplectiques compactes et a montré que leurs squelettes lagrangiens présentent des propriétés remarquables de rigidité. Il a notamment constaté que leurs complémentaires ne contiennent que des petites boules. Dans cet article, nous introduisons des polarisations dites de Liouville de certaines variétés symplectiques non compactes de dimension 4. Cela conduit à plusieurs résultats de plongements symplectiques, qui à leur tour conduisent à de nouvelles intersections lagrangiennes persistantes et un nouveau phénomène de barrières legendriennes.

Nous montrons par exemple qu'étant donné une variété symplectique connexe $(M,\omega)$ de dimension 4 et une boule de dimension 4 de plus petit volume, il existe une union finie explicite de disques lagrangiens dans la 4-boule dont le complémentaire se plonge symplectiquement dans $(M,\omega)$, ce qui étend un résultat de Sackel-Song-Varolgunes-Zhu et Brendel. D'autres applications sont de nouveaux résultats d'intersections lagrangiennes et des versions relatives de la conjecture des cordes d'Arnold.