SMF

Régularité forte

Strong regularity

Pierre BERGER, Jean-Christophe YOCCOZ
Régularité forte
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  • Année : 2019
  • Tome : 410
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37D20, 37D25, 37D45, 37C40, 37E30
  • Nb. de pages : ix+180
  • ISBN : 978-2-85629-904-3
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1076

Le programme de régularité forte fut initié par Jean-Christophe Yoccoz lors de son premier cours au Collège de France. Comme expliqué et développé dans le premier article de ce volume, ce programme a pour objectif de démontrer l'abondance des dynamiques ayant un attracteur non-uniformément hyperbolique. Il propose une définition topologique et combinatoire de telles applications via le formalisme des pièces de puzzle. Leurs combinatoires permettent de déduire les propriétés analytiques désirées.

En 1997, cette méthode permit à Jean-Christophe Yoccoz de redémontrer le théorème de Jakobson : il existe un ensemble de mesure de Lebesgue positif de paramètres $a$ tels que l'application $x\mapsto x^2+a$ ait un attracteur non-uniformément hyperbolique. Cette preuve est le deuxième article de ce volume.

Dans le troisième article, cette méthode est généralisée en dimension deux par Pierre Berger pour démontrer le résultat suivant. Pour toute $C^2$-perturbation de la famille d'applications $(x,y)\mapsto (x^2+a, 0)$, il existe un ensemble de mesure de Lebesgue positif de paramètres $a$ pour lesquels ces applications ont un attracteur non-uniformément hyperbolique. Cela donne en particulier une preuve alternative du théorème de Benedicks-Carleson.

The strong regularity program was initiated by Jean-Christophe Yoccoz during his first lecture at Collège de France. As explained in the first article of this volume, this program aims to show the abundance of dynamics displaying a non-uniformly hyperbolic attractor. It proposes a topological and combinatorial definition of such mappings using the formalism of puzzle pieces. Their combinatorics enable to deduce the wished analytical properties.

In 1997, this method enabled Jean-Christophe Yoccoz to give an alternative proof of the Jakobson theorem: the existence of a set of positive Lebesgue measure of parameters $a$ such that the map $x\mapsto x^2+a$ has an attractor which is non-uniformly hyperbolic.
This proof is the second article of this volume.

In the third article, this method is generalized in dimension 2 by Pierre Berger to show the following theorem. For every $C^2$-perturbation of the family of maps $(x,y)\mapsto (x^2+a, 0)$, there exists a parameter set of positive Lebesgue measure at which these maps display a non-uniformly hyperbolic attractor. This gives in particular an alternative proof of the Benedicks-Carleson Theorem

Hyperbolicté non-uniforme, sélection de paramètres, application unimodale, attracteur Hénon, dynamiques chaotiques, dynamiques en petite dimension, pièce de puzzle
Nonuniformly hyperbolic systems, parameter selection, unimodal map, Hénon attractor, chaotic dynamics, low dimensional dynamics, puzzle piece
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