Soient $p\mathbin {\ne } \ell $ deux nombres premiers distincts, soit $F$ un corps $p$-adique et soit $E$ un corps $\ell $-adique. Nous démontrons que la partie lisse et la complétion définissent des équivalences de catégories inverses l'une de l'autre entre la catégorie des représentations admissibles de Banach unitaires de $GL(n,F)$ sur $E$ et la catégorie des représentations lisses admissibles de $GL(n,F)$ sur $E$ munies d'une e de commensurabilité de réseaux. Nous formulons la correspondance de Langlands locale $\ell $-adique comme une bijection canonique entre les représentations $\ell $-adiques de dimension $n$ du groupe de Galois absolu $\operatorname {Gal} _{F}$ et les représentations topologiquement irréductibles admissibles de Banach unitaires $\ell $-adiques de $GL(n,F)$.