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$(\varphi ,\Gamma)$-modules et représentations du mirabolique de ${\bf GL}_2(\mathbf {Q}_p)$

$(\varphi ,\Gamma)$-modules and representations of the mirabolic of ${\bf GL}_2(\mathbf {Q}_p)$

Pierre COLMEZ
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  • Année : 2010
  • Tome : 330
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11S**
  • Pages : 61-153
  • DOI : 10.24033/ast.878

On construit des foncteurs $D\mapsto D\boxtimes \mathbf {Q}_p$ et $D\mapsto D^\natural \boxtimes \mathbf {Q}_p$, de la catégorie des $(\varphi ,\Gamma )$-modules étales dans celle des représentations du mirabolique de ${\bf GL}_2(\mathbf {Q}_p)$. Dans le cas du $(\varphi ,\Gamma )$-module trivial, le module $D^\natural \boxtimes \mathbf {Q}_p$ s'interprète naturellement comme l'espace des mesures bornées sur $\mathbf {Q}_p$. En traduisant, en termes de $(\varphi ,\Gamma )$-modules, les opérations élémentaires sur les mesures (multiplication par une fonction continue, image directe par un difféomorphisme local), on munit le module $D\boxtimes \mathbf {Q}_p$ d'opérations analytiques. Toutes ces constructions jouent un grand rôle dans l'établissement de la correspondance de Langlands locale $p$-adique pour ${\bf GL}_2(\mathbf {Q}_p)$. Enfin, on démontre une loi de réciprocité explicite qui généralise celle de Perrin-Riou et intervient dans l'exploration des liens entre les correspondances de Langlands locales $p$-adique et ique (pour ${\bf GL}_2(\mathbf {Q}_p)$).

This paper is devoted to the construction of functors $D\mapsto D\boxtimes \mathbf {Q}_p$ and $D\mapsto D^\natural \boxtimes \mathbf {Q}_p$ from the category of étale $(\varphi ,\Gamma )$-modules to that of representations of the mirabolic subgroup of ${\bf GL}_2(\mathbf {Q}_p)$. If $D$ is the trivial $(\varphi ,\Gamma )$-module, $D^\natural \boxtimes \mathbf {Q}_p$ is naturally isomorphic to the space of bounded measures on $\mathbf {Q}_p$. Translating in terms of $(\varphi ,\Gamma )$-modules the usual operations on measures (multiplication by a continuous function, pushforward by a local diffeomorphism) endow $D\boxtimes \mathbf {Q}_p$ with analytic operations. All these constructions play an important rôle in the definition of the $p$-adic local Langlands correspondence for ${\bf GL}_2(\mathbf {Q}_p)$. Finally, we prove an explicit reciprocity law generalizing that of Perrin-Riou, which is used in the comparison between the ical and $p$-adic local Langlands correspondences (for ${\bf GL}_2(\mathbf {Q}_p)$).

$(\varphi ,\Gamma )$-modules, loi de réciprocité
$(\varphi ,\Gamma )$-modules, reciprocity law