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Représentations modulaires de $\operatorname {GL}_2(\mathbf {Q}_p)$ et représentations galoisiennes de dimension $2$

Modular representations of $\operatorname {GL}_2(\mathbf {Q}_p)$ and $2$-dimensional Galois representations

Laurent BERGER
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  • Année : 2010
  • Tome : 330
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11F33, 11F80, 11F85, 22E50
  • Pages : 263-279
  • DOI : 10.24033/ast.881

On démontre la conjecture de Breuil concernant la réduction modulo $p$ des représentations triangulines $V$ et des représentations $\Pi (V)$ de $\operatorname {GL}_2(\mathbf {Q}_p)$ qui leur sont associées par la correspondance de Langlands $p$-adique. L'ingrédient principal de la démonstration est l'étude de certaines représentations lisses irréductibles de $\operatorname {B}(\mathbf {Q}_p)$ via des modèles construits en utilisant les $(\varphi ,\Gamma )$-modules.

We prove Breuil's conjecture concerning the reduction modulo $p$ of trianguline representations $V$ and of the representations $\Pi (V)$ of $\operatorname {GL}_2(\mathbf {Q}_p)$ associated to them by the $p$-adic Langlands correspondence. The main ingredient of the proof is the study of some smooth irreducible representations of $\operatorname {B}(\mathbf {Q}_p)$ through models built using the theory of $(\varphi ,\Gamma )$-modules.

Représentations galoisiennes, correspondance de Langlands $p$-adique, $(\varphi ,\Gamma )$-modules
Galois representations, $p$-adic Langlands correspondence, $(\varphi ,\Gamma )$-modules