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Représentations $\ell$-adiques de groupes $p$-adiques

Coleman's $\mathcal L$-invariant and families of modular forms

Glenn STEVENS
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  • Année : 2010
  • Tome : 331
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G40 ; 11F67, 14G20
  • Pages : 1-12
  • DOI : 10.24033/ast.886

On démontre une conjecture de Mazur, Tate et Teitelbaum, en termes de l'invariant $\mathcal L$ de Coleman, pour une forme primitive $f$ de poids arbitraire $k_0\geq 2$ et de type multiplicatif déployé en un nombre premier $p>2$. Le point clé de la preuve consiste à montrer que l'invariant $\mathcal L$ de Coleman est donné par ${\mathcal L}(f)=-2p^{k_0/2}\alpha '(k_0)$, où $\alpha (k)$ est la valeur propre de $U_p$ agissant sur le germe d'une famille de Coleman $f_k$ passant par $f$ en $k=k_0$.

We prove the conjecture of Mazur, Tate, and Teitelbaum with Coleman's $\mathcal L$-invariant for a newform $f$ of arbitrary weight $k_0\ge 2$ of split multiplicative type at a prime $p>2$. The key step in the proof is to show that Coleman's $\mathcal L$-invariant is given by ${\mathcal L}(f) = -2p^{k_0/2}\alpha ^\prime (k_0)$, where $\alpha (k)$ is the eigenvalue of $U_p$ acting on the germ of a Coleman family $f_k$ passing through $f$ at $k=k_0$.

Fonctions $L$ $p$-adiques, formes modulaires, périodes de formes modulaires
$p$-adic $L$-functions, modular forms, periods of modular forms