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Série spéciale $p$-adique et cohomologie étale complétée

Special $p$-adic series and completed étale cohomology

Christophe BREUIL
Série spéciale $p$-adique et cohomologie étale complétée
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  • Année : 2010
  • Tome : 331
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11F
  • Pages : 65-115
  • DOI : 10.24033/ast.889

Soit $f$ une forme modulaire parabolique nouvelle de poids $k\geq 2$ sur $\Gamma _0(Np)$ avec $(N, p)=1$ vecteur propre des opérateurs de Hecke. Soit $E$ une extension finie de $\mathbf Q$ contenant les valeurs propres. Si $k>2$, on montre que l'adhérence de la représentation ${\rm Sym}^{k-2}E^2\otimes \pi _p(f)$ de ${\rm GL}_2(\mathbf Q)$ dans le complété $p$-adique $\operatorname {lim,proj} _n\operatorname {lim,ind} _rH^1(Y(Np^r), {\mathbb Z}/p^n{\mathbb Z})\otimes E$ détermine l'invariant $\mathcal L$ de $f$, c'est-à-dire la restriction à ${\rm Gal}(\overline \mathbb {Q} /\mathbb {Q} )$ de la représentation galoisienne $p$-adique associée à $f$. En utilisant des résultats de Colmez, on donne une description explicite de ce qu'est cette adhérence. Le cas $k=2$ se comporte différemment, mais on montre comment on peut encore retrouver l'invariant $\mathcal L$, du point de vue ${\rm GL}_2(\mathbf Q)$, dans le complété $p$-adique précédent.

Let $f$ be a new modular parabolic form of weight $k\geq 2$ on $\Gamma _0(Np)$ with the eigenvector of Hecke operators $(N, p)=1$. Let $E$ be a finite extension of $\mathbf Q$ containing the eigenvalues. If $k>2$, we show that the closure of the representation ${\rm Sym}^{k-2}E^2\otimes \pi _p(f)$ of ${\rm GL}_2(\mathbf Q)$ in the $p$-adic completion $\operatorname {lim,proj} _n\operatorname {lim,ind} _rH^1(Y(Np^r), {\mathbb Z}/p^n{\mathbb Z})\otimes E$ gives the invariant $\mathcal L$ of $f$, that is the restriction of the $p$-adice Galois representation of $f$ to ${\rm Gal}(\overline {\mathbf Q}/\mathbf Q)$. By using Colmez's results we give an explicit description of this closure. The case $k=2$ behaves differently, but we show how one can still find the invariant $\mathcal L$ from the ${\rm GL}_2(\mathbf Q)$ view point, in the previous $p$-adic completion.

Série spéciale $p$-adique, correspondance de Langlands $p$-adique ; cohomologie étale complétée
$p$-adic special series, $p$-adic Langlands correspondence, completed étale cohomology