SMF

Sur la structure des catégories triangulées

On the structure of triangulated categories with finitely many indecomposables

Claire Amiot
Sur la structure des catégories triangulées
  • Année : 2007
  • Fascicule : 3
  • Tome : 135
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 18E30, 16G70
  • Pages : 435-474
  • DOI : 10.24033/bsmf.2542

Cet article traite du problème de ification des catégories triangulées sur un corps algébriquement clos $k$ dont les espaces de morphismes sont de dimension finie et avec un nombre fini d'indécomposables. Nous obtenons une nouvelle preuve du résultat suivant dû à Xiao et Zhu : le carquois d'Auslander-Reiten d'une telle catégorie $\mathcal {T}$ est de la forme $\mathbb {Z}\Delta /G$ où $\Delta $ est une union disjointe de diagrammes de Dynkin simplement lacés et $G$ est un groupe d'automorphismes de $\mathbb {Z}\Delta $ faiblement admissible. Nous montrons ensuite que pour ‘presque' tous groupes $G$, la catégorie $\mathcal {T}$ est standard, c'est-à-dire $k$-linéairement équivalente à une catégorie d'orbites $\mathcal {D}^b({\sf mod \hspace {.02in}} k\Delta )/\Phi $. C'est en particulier le cas lorsque $\mathcal {T}$ est maximale $d$-Calabi-Yau avec $d\geq 2$. De plus, si $\mathcal {T}$ est standard et algébrique, nous pouvons même construire une équivalence triangulée entre $\mathcal {T}$ et la catégorie d'orbites correspondante. Nous donnons finalemant une condition suffisante pour que la catégorie de projectifs d'une catégorie de Frobenius soit triangulée. Cela nous permet de construire des catégories $1$-Calabi-Yau non standard en utilisant les algèbres préprojectives déformées de type Dynkin généralisé.

We study the problem of ifying triangulated categories with finite-dimensional morphism spaces and finitely many indecomposables over an algebraically closed field $k$. We obtain a new proof of the following result due to Xiao and Zhu : the Auslander-Reiten quiver of such a category $\T $ is of the form $\mathbb {Z}\Delta /G$ where $\Delta $ is a disjoint union of simply-laced Dynkin diagrams and $G$ a weakly admissible group of automorphisms of $\mathbb {Z}\Delta $. Then we prove that for ‘most' groups $G$, the category $\T $ is standard, i.e. $k$-linearly equivalent to an orbit category $\mathcal {D}^b(\modd k\Delta )/\Phi $. This happens in particular when $\T $ is maximal $d$-Calabi-Yau with $d\geq 2$. Moreover, if $\T $ is standard and algebraic, we can even construct a triangle equivalence between $\T $ and the corresponding orbit category. Finally we give a sufficient condition for the category of projectives of a Frobenius category to be triangulated. This allows us to construct non standard $1$-Calabi-Yau categories using deformed preprojective algebras of generalized Dynkin type.

catégorie triangulée localement finie, catégorie de Calabi-Yau, diagramme de Dynkin, carquois d'Auslander-Reiten, catégorie d'orbites
Locally finite triangulated category, Calabi-Yau category, Dynkin diagram, Auslander-Reiten quiver, orbit category
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