SMF

Sur les endomorphismes naturels des algèbres de quasi-shuffle

Natural endomorphisms of quasi-shuffle Hopf algebras

Jean-Christophe Novelli, Frédéric Patras, Jean-Yves Thibon
Sur les endomorphismes naturels des algèbres de quasi-shuffle
  • Année : 2013
  • Fascicule : 1
  • Tome : 141
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 05E05; 16W20, 05E15.
  • Pages : 107-130
  • DOI : 10.24033/bsmf.2644
L'algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques sur les mots ($\mathbf {WQSym} $), une généralisation non commutative de l'algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques, peut être munie d'un produit interne qui a des propriétés remarquables de compatibilité aux autres opérations sur $\mathbf {WQSym} $. Cette construction étend des constructions familières et centrales de la théorie des algèbres de Lie libres, des fonctions non commutatives symétriques et de leurs nombreux domaines d'application. Elle permet aussi d'interpréter $\mathbf {WQSym} $ comme algèbre de convolution des endomorphismes linéaires des algèbres quasi-shuffle. Nous utilisons cette interprétation pour étudier la structure fine des algèbres quasi-shuffle (MZVs, algèbres de Rota-Baxter libres...). En particulier, nous étudions leurs opérations d'Adams et prouvons l'existence d'un inverse à gauche canonique à la surjection naturelle vers les indécomposables ; elle donne lieu à une construction combinatoire de leurs générateurs polynomiaux.
The Hopf algebra of word-quasi-symmetric functions ($\mathbf {WQSym} $), a noncommutative generalization of the Hopf algebra of quasi-symmetric functions, can be endowed with an internal product that has several compatibility properties with the other operations on $\mathbf {WQSym} $. This extends constructions familiar and central in the theory of free Lie algebras, noncommutative symmetric functions and their various applications fields, and allows to interpret $\mathbf {WQSym} $ as a convolution algebra of linear endomorphisms of quasi-shuffle algebras. We then use this interpretation to study the fine structure of quasi-shuffle algebras (MZVs, free Rota-Baxter algebras...). In particular, we compute their Adams operations and prove the existence of generalized Eulerian idempotents, that is, of a canonical left-inverse to the natural surjection map to their indecomposables, allowing for the combinatorial construction of free polynomial generators for these algebras.
Quasi-shuffle, fonction quasi-symétrique, convolution, algèbres de Hopf, surjection, opération d'Adams, idempotent eulérien, MZV.
Quasi-shuffle, Word quasi-symmetric function, convolution, Hopf algebra, surjection, Adams operation, eulerian idempotent, multiple zeta values.
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