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Sur les variétés XPN telles que par n points passe une courbe de X de degré donné

On varieties XPN such that a curve of X of given degree passes through n points of X

Luc Pirio, Jean-Marie Trépreau
Sur les variétés $X\subset \mathbb {P}^N$ telles que par $n$ points passe une courbe de $X$ de degré donné
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  • Année : 2013
  • Fascicule : 1
  • Tome : 141
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14N (14M22, 14J40), 53A (53A40, 53C10).
  • Pages : 131-196
Soit r1, n2, et qn1 des entiers. On introduit la e Xr+1,n(q) des sous-variétés X de dimension r+1 d'un espace projectif, telles que
  • pour (x1,,xn)Xn générique, il existe une courbe rationnelle normale de degré q, contenue dans X et passant par les points x1,,xn ;
  • X engendre un espace projectif dont la dimension, pour r, n et q donnés, est la plus grande possible compte tenu de la première propriété.
Sous l'hypothèse q2n3, on détermine toutes les variétés X appartenant à la e Xr+1,n(q). On montre en particulier qu'il existe une variété X0Pr+n1 de degré minimal n1 et une application birationnelle X0\dasharrowX qui envoie une section de X0 par un Pn1Pr+n1 générique sur une courbe rationnelle normale de degré q. Sans hypothèse sur q, on définit sur l'espace des courbes rationnelles normales de degré q contenues dans la variété XXr+1,n(q) une structure quasi-grassmannienne. La variété X est de la forme précédente si et seulement si cette structure est localement isomorphe à la structure standard, celle de la grassmannienne des (n1)-plans de Pr+n1. Le problème de la détermination des variétés XXr+1,n(2n3) reste ouvert. Nous donnons quelques exemples de variétés des es Xr+1,3(3) et Xr+1,4(5) qui ne sont pas de la forme qu'on vient de décrire. Nous avons été conduits à l'étude des variétés XXr+1,n(q) par nos travaux sur le problème de l'algébrisation des d-tissus, de codimension r sur une variété de dimension rn, qui sont de rang maximal. Ce problème, considéré d'abord, dans cette généralité, par Chern et Griffiths [?]-[?], a été récemment résolu pour r=1 dans Trépreau [?]. Le cas général fait l'objet d'un article en cours de préparation, qui utilise le résultat principal obtenu ici, voir Pirio-Trépreau [?].
For given integers r1, n2 and qn1, we introduce the Xr+1,n(q) of (r+1)-dimensional subvarieties X of a projective space, such that :
  • any generic set of n points of X is contained in a rational normal curve on X, of degree q ;
  • X spans a projective space the dimension of which is the biggest possible, considering the first property.
Our main result is the following theorem : If q2n3 and XXr+1,n(q), there exists a variety X0 in Pr+n1, of dimension r+1 and minimal degree n1, and a birational map X0\dasharrowX, such that a section of X0 by a generic Pn1 is mapped onto a rational normal curve of degree q. Without any assumption on q, we say that a variety XXr+1,n(q) is standard if it satisfies the conclusion of the preceding theorem. Building upon the ification of varieties of minimal degree, which is well-known, we give a complete ification of standard varieties in each Xr+1,n(q). The existence and ification of non-standard varieties XXr+1,n(2n3), for r2 and n3, remains an open problem. However, though the condition q2n3 in the theorem above may not be sharp, we give examples of non-standard varieties in Xr+1,3(3) and in Xr+1,4(5). In the general case, if XXr+1,n(q), we show that the space of rational normal curves of degree q on X carries a natural quasi-grassmannian structure. Our second main result is the theorem : A variety XXr+1,n(q) is standard if and only if the associated quasi-grassmannian structure is integrable, that is locally isomorphic to the natural stucture of the grassmannian of (n1)-planes in Pr+n1. In a forthcoming paper we shall apply our results to the so-called Problem of algebraization of webs of maximal rank, giving in most cases a solution to a question first raised, in this generality, by Chern and Griffiths.
Variété projective, variété rationnellement connexe, courbe rationnelle normale, variété de degré minimal, stucture quasi-grassmannienne.
Projective varieties XPN such that any generic set of n points of X is contained in a rational curve on X, of a given degree.