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Sur les variétés $X\subset \mathbb {P}^N$ telles que par $n$ points passe une courbe de $X$ de degré donné

On varieties $X\subset \mathbb {P}^N$ such that a curve of $X$ of given degree passes through $n$ points of $X$

Luc Pirio, Jean-Marie Trépreau
Sur les variétés $X\subset \mathbb {P}^N$ telles que par $n$ points passe une courbe de $X$ de degré donné
  • Année : 2013
  • Fascicule : 1
  • Tome : 141
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14N (14M22, 14J40), 53A (53A40, 53C10).
  • Pages : 131-196
Soit $\,r\geq 1$, $\,n\geq 2$, et $\,q\geq n-1$ des entiers. On introduit la e $\mathcal {X}_{r+1,n}(q)$ des sous-variétés $X$ de dimension $r+1$ d'un espace projectif, telles que
  • pour $(x_1,\ldots ,x_n)\in X^n$ générique, il existe une courbe rationnelle normale de degré $q$, contenue dans $X$ et passant par les points $x_1,\ldots ,x_n$ ;
  • $X$ engendre un espace projectif dont la dimension, pour $r$, $n$ et $q$ donnés, est la plus grande possible compte tenu de la première propriété.
Sous l'hypothèse $q\neq 2n-3$, on détermine toutes les variétés $X$ appartenant à la e $\mathcal {X}_{r+1,n}(q)$. On montre en particulier qu'il existe une variété $X_0\subset \mathbb {P}^{r+n-1}$ de degré minimal $n-1$ et une application birationnelle $X_0\dasharrow X$ qui envoie une section de $X_0$ par un $\mathbb {P}^{n-1}\subset \mathbb {P}^{r+n-1}$ générique sur une courbe rationnelle normale de degré $q$. Sans hypothèse sur $q$, on définit sur l'espace des courbes rationnelles normales de degré $q$ contenues dans la variété $X\in \mathcal {X}_{r+1,n}(q)$ une structure quasi-grassmannienne. La variété $X$ est de la forme précédente si et seulement si cette structure est localement isomorphe à la structure standard, celle de la grassmannienne des $(n-1)$-plans de $\mathbb {P}^{r+n-1}$. Le problème de la détermination des variétés $X\in \mathcal {X}_{r+1,n}(2n-3)$ reste ouvert. Nous donnons quelques exemples de variétés des es $\mathcal {X}_{r+1,3}(3)$ et $\mathcal {X}_{r+1,4}(5)$ qui ne sont pas de la forme qu'on vient de décrire. Nous avons été conduits à l'étude des variétés $X\in \mathcal {X}_{r+1,n}(q)$ par nos travaux sur le problème de l'algébrisation des $d$-tissus, de codimension $r$ sur une variété de dimension $rn$, qui sont de rang maximal. Ce problème, considéré d'abord, dans cette généralité, par Chern et Griffiths [?]-[?], a été récemment résolu pour $r=1$ dans Trépreau [?]. Le cas général fait l'objet d'un article en cours de préparation, qui utilise le résultat principal obtenu ici, voir Pirio-Trépreau [?].
For given integers $\,r\geq 1$, $\,n\geq 2$ and $\,q\geq n-1$, we introduce the $\mathcal {X}_{r+1,n}(q)$ of $(r+1)$-dimensional subvarieties $X$ of a projective space, such that :
  • any generic set of $n$ points of $X$ is contained in a rational normal curve on $X$, of degree $q$ ;
  • $X$ spans a projective space the dimension of which is the biggest possible, considering the first property.
Our main result is the following theorem : If $q\neq 2n-3$ and $X\in \mathcal {X}_{r+1,n}(q)$, there exists a variety $X_0$ in $\mathbb {P}^{r+n-1}$, of dimension $r+1$ and minimal degree $n-1$, and a birational map $X_0\dasharrow X$, such that a section of $X_0$ by a generic $\mathbb {P}^{n-1}$ is mapped onto a rational normal curve of degree $q$. Without any assumption on $q$, we say that a variety $X\in \mathcal {X}_{r+1,n}(q)$ is standard if it satisfies the conclusion of the preceding theorem. Building upon the ification of varieties of minimal degree, which is well-known, we give a complete ification of standard varieties in each $\mathcal {X}_{r+1,n}(q)$. The existence and ification of non-standard varieties $X\in \mathcal {X}_{r+1,n}(2n-3)$, for $r\geq 2$ and $n\geq 3$, remains an open problem. However, though the condition $q\neq 2n-3$ in the theorem above may not be sharp, we give examples of non-standard varieties in $\mathcal {X}_{r+1,3}(3)$ and in $\mathcal {X}_{r+1,4}(5)$. In the general case, if $X\in \mathcal {X}_{r+1,n}(q)$, we show that the space of rational normal curves of degree $q$ on $X$ carries a natural quasi-grassmannian structure. Our second main result is the theorem : A variety $X\in \mathcal {X}_{r+1,n}(q)$ is standard if and only if the associated quasi-grassmannian structure is integrable, that is locally isomorphic to the natural stucture of the grassmannian of $(n-1)$-planes in $\mathbb {P}^{r+n-1}$. In a forthcoming paper we shall apply our results to the so-called Problem of algebraization of webs of maximal rank, giving in most cases a solution to a question first raised, in this generality, by Chern and Griffiths.
Variété projective, variété rationnellement connexe, courbe rationnelle normale, variété de degré minimal, stucture quasi-grassmannienne.
Projective varieties $X\subset \mathbb {P}^N$ such that any generic set of $n$ points of $X$ is contained in a rational curve on $X$, of a given degree.
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