SMF

Symétrie miroir

Mirror symmetry

Claire Voisin
  • Année : 1996
  • Tome : 2
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14D05, 14D07, 14J32, 14M25, 32G13, 32G20, 32L07, 81T30, 81T40, 53C23, 53C15
  • Nb. de pages : iv+148
  • ISBN : 2-85629-048-5
Ce texte expose certains travaux récents motivés par la mise en évidence du phénomène de symétrie miroir par les physiciens. Un chapitre y est consacré à la géométrie des variétés de Calabi-Yau, tandis que le suivant décrit, à titre de motivation, les idées venues de la théorie quantique des champs et qui sont à l'origine de cette découverte. Les chapitres suivants traitent d'aspects plus spécialisés du sujet : le travail de Candelas, de la Ossa, Greene, Parkes, où est exploité le fait que sous l'hypothèse des miroirs, la variation de structure de Hodge d'une famille de variétés de Calabi-Yau de dimension 3 détermine les invariants de Gromov-Witten de son miroir ; la construction de Batyrev, qui exhibe le phénomène de miroirs entre hypersurfaces des variétés toriques de Fano, à l'aide d'une ification combinatoire de ces dernières ; la construction mathématique du potentiel de Gromov-Witten et la preuve de sa propriété cruciale (il satisfait l'équation WDVV), qui permet de construire une connexion plate, sous-jacente à une variation de structure de Hodge dans le cas d'une variété de Calabi-Yau ; et pour finir, le calcul de Givental qui est une justification mathématique mystérieuse du calcul de Candelas et al.
This paper describes recent works motivated by the discovery of the mirror symmetry phenomenon by the physicists. One chapter is devoted to the geometry of Calabi-Yau manifolds, and the next one describes, as a motivation, the ideas from quantum field theory, which led to this discovery. The other chapters deal with more specialised aspects of the subject : The work of Candelas, de la Ossa, Greene, Parkes, based on the fact that under the mirror symmetry hypothesis, the variation of Hodge structure of a Calabi-Yau threefold determines the Gromov-Witten invariants of its mirror ; Batyrev's construction which exhibits the mirror symmetry phenomenon between hypersurfaces of toric Fano varieties, after a combinatorial ification of the last ones ; the mathematical construction of the Gromov-Witten potential, and the proof of its crucial property (it satisfies the WDVV equation), which allows to construct a flat connection, underlying a variation of Hodge structure in the Calabi-Yau case ; and to conclude, Givental's computation, which is a mysterious mathematical justification of the computation of Candelas et al.
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