SMF

Théorie de Hodge $p$-adique et fonctions zeta de formes modulaires

$p$-adic Hodge theory and values of zeta functions of modular forms

Kazuya KATO
  • Année : 2004
  • Tome : 295
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11F11, 11F67, 11F80, 11F85, 11G05, 11G16, 11G40, 11R33, 11R39, 11R56, 11S80, 11S99, 14F30, 14F42, 14G10, 14G35, 14G40
  • Pages : 117-290
  • DOI : 10.24033/ast.639

Si $f$ est une forme modulaire, nous construisons un système d'Euler attaché à $f$, ce qui nous permet d'obtenir des bornes pour les groupes de Selmer de $f$. Une loi de réciprocité explicite permet de relier ce système d'Euler à la fonction zêta $p$-adique de $f$, ce qui nous permet d'obtenir un résultat de divisibilité en direction de la conjecture principale pour $f$ ainsi que des minorations pour l'ordre d'annulation de cette fonction zêta $p$-adique. Dans le cas particulier où $f$ est attachée à une courbe elliptique $E$ définie sur $\mathbb {Q}$, nous prouvons que la fonction zêta $p$-adique de $E$ a un zéro en $s=1$ d'ordre supérieur ou égal au rang du groupe des points rationnels de $E$.

If $f$ is a modular form, we construct an Euler system attached to $f$ from which we deduce bounds for the Selmer groups of $f$. An explicit reciprocity law links this Euler system to the $p$-adic zeta function of $f$ which allows us to prove a divisibility statement towards Iwasawa's main conjecture for $f$ and to obtain lower bounds for the order of vanishing of this $p$-adic zeta function. In particular, if $f$ is associated to an elliptic curve $E$ defined over $\mathbb {Q}$, we prove that the $p$-adic zeta function of $f$ has a zero at $s=1$ of order at least the rank of the group of rational points on $E$.

Forme modulaire, système d'Euler, groupe de Selmer, loi de réciprocité, fonction zêta $p$-adique, courbe elliptique
Modular form, Euler system, Selmer group, reciprocity law, $p$-adic zeta function, elliptic curve
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