SMF

Arithmétique des représentations galoisiennes $p$-adiques

$p$-adic representations

Jean-Marc Fontaine
  • Année : 2004
  • Tome : 295
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11F80, 11F85, 11S15, 11S20, 11S25
  • Pages : 1-115
  • DOI : 10.24033/ast.638
Soient $K$ un corps $p$-adique, $\overline K$ une clôture algébrique de $K$, $C$ le complété de $\overline K$ pour la topologie $p$-adique, $B_{\mathrm {dR}}$ le corps des périodes $p$-adiques, $G_K=\mathrm {Gal}(\overline K/K)$. On commence par expliquer les calculs de Sen et Tate sur la cohomologie galoisienne continue de $C$ et de $GL_h(C)$. On donne ensuite une ification, essentiellement due à Sen, des $C$-représentations de $G_K$ (c'est-à-dire des $C$-espaces vectoriels de dimension finie munis d'une action semi-linéaire et continue de $G_K$) puis des $B_{\mathrm {dR}}$-représentations de $G_K$. On applique ceci aux représentations $p$-adiques de $G_K$, puis on décrit les principaux faits de la théorie des représentations $p$-adiques semi-stables. On termine en prouvant que les seuls endomorphismes ${\mathbb Q}_p$-linéaires continus $G_K$-équivariants de $C$ sont les homothéties par des éléments de $K$, puis que, lorsque $K$ est une extension finie de ${\mathbb Q}_p$, le foncteur d'oubli de la catégorie des $C$-représentations de $G_K$ dans celle des Banach $p$-adiques munis d'une action linéaire et continue de $G_K$ est pleinement fidèle.
Let $K$ be a $p$-adic field, $\overline K$ an algebraic closure of $K$, $C$ the $p$-adic completion of $\overline K$, $B_{\mathrm {dR}}$ the field of $p$-adic periods, $G_K=\mathrm {Gal}(\overline K/K)$. We first explain Sen and Tate's computations of the continuous Galois cohomology of $C$ and $GL_h(C)$. We give a ification (mainly due to Sen) of $C$-representations of $G_K$ (that is of finite dimensional $C$-vector spaces endowed with a semi-linear and continuous action of $G_K$). We continue with a ification of $B_{\mathrm {dR}}$-representations of $G_K$. Then we apply these results to $p$-adic Galois representations and we review the main facts of the theory of semi-stable Galois representations. We finish by proving that a) the only continous ${\mathbb Q}_p$-linear endomorphisms of $C$, commuting with the action of $G_K$, are multiplications by elements of $K$, b) the forgetful functor from the category of $C$-representations of $G_K$ to the category of $p$-adic Banach spaces equipped with a linear and continuous action of $G_K$ is fully faithful.
Corps locaux, périodes $p$-adiques, représentations galoisiennes
Local fields, $p$-adic periods, Galois representation