SMF

Arithmétique des représentations galoisiennes p-adiques

p-adic representations

Jean-Marc FONTAINE
     
                
  • Année : 2004
  • Tome : 295
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11F80, 11F85, 11S15, 11S20, 11S25
  • Pages : 1-115
  • DOI : 10.24033/ast.638

Soient K un corps p-adique, ¯K une clôture algébrique de K, C le complété de ¯K pour la topologie p-adique, BdR le corps des périodes p-adiques, GK=Gal(¯K/K). On commence par expliquer les calculs de Sen et Tate sur la cohomologie galoisienne continue de C et de GLh(C). On donne ensuite une ification, essentiellement due à Sen, des C-représentations de GK (c'est-à-dire des C-espaces vectoriels de dimension finie munis d'une action semi-linéaire et continue de GK) puis des BdR-représentations de GK. On applique ceci aux représentations p-adiques de GK, puis on décrit les principaux faits de la théorie des représentations p-adiques semi-stables. On termine en prouvant que les seuls endomorphismes Qp-linéaires continus GK-équivariants de C sont les homothéties par des éléments de K, puis que, lorsque K est une extension finie de Qp, le foncteur d'oubli de la catégorie des C-représentations de GK dans celle des Banach p-adiques munis d'une action linéaire et continue de GK est pleinement fidèle.

Let K be a p-adic field, ¯K an algebraic closure of K, C the p-adic completion of ¯K, BdR the field of p-adic periods, GK=Gal(¯K/K). We first explain Sen and Tate's computations of the continuous Galois cohomology of C and GLh(C). We give a ification (mainly due to Sen) of C-representations of GK (that is of finite dimensional C-vector spaces endowed with a semi-linear and continuous action of GK). We continue with a ification of BdR-representations of GK. Then we apply these results to p-adic Galois representations and we review the main facts of the theory of semi-stable Galois representations. We finish by proving that a) the only continous Qp-linear endomorphisms of C, commuting with the action of GK, are multiplications by elements of K, b) the forgetful functor from the category of C-representations of GK to the category of p-adic Banach spaces equipped with a linear and continuous action of GK is fully faithful.

Corps locaux, périodes p-adiques, représentations galoisiennes
Local fields, p-adic periods, Galois representation


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