Un feuilletage holomorphe sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ ou analytique réel sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{R}}$ est dit convexe si ses feuilles qui ne sont pas des droites n'ont pas de points d'inflexion. La classification des feuilletages convexes de degré $2$ sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ a été établie en $2015$ par C. Favre et J. Pereira. L'argument principal de cette classification était un résultat obtenu en 2004 par D. Schlomiuk et N. Vulpe concernant les champs de vecteurs réels polynomiaux de degré $2$ dont le feuilletage de $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{R}}$ associé est convexe. Nous présentons ici une nouvelle démonstration de cette classification, plus simple, n'utilisant pas ce résultat et ne sortant pas du cadre holomorphe; elle s'appuie sur des propriétés de certains modèles de feuilletages convexes de $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ de degré quelconque et du discriminant du tissu dual d'un feuilletage de $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$.