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Une nouvelle démonstration de la classification des feuilletages convexes de degré deux sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$

A new proof of the classification of convex foliations of degree two on the complex projective plane

Samir BEDROUNI, David MARIN
Une nouvelle démonstration de la classification des feuilletages convexes de degré deux sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 4
  • Tome : 148
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 37F75, 32S65, 32M25
  • Pages : 613-622
  • DOI : 10.24033/bsmf.2818

Un feuilletage holomorphe sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ ou analytique réel sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{R}}$ est dit convexe si ses feuilles qui ne sont pas des droites n'ont pas de points d'inflexion. La classification des feuilletages convexes de degré $2$ sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ a été établie en $2015$ par C. Favre et J. Pereira. L'argument principal de cette classification était un résultat obtenu en 2004 par D. Schlomiuk et N. Vulpe concernant les champs de vecteurs réels polynomiaux de degré $2$ dont le feuilletage de $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{R}}$ associé est convexe. Nous présentons ici une nouvelle démonstration de cette classification, plus simple, n'utilisant pas ce résultat et ne sortant pas du cadre holomorphe; elle s'appuie sur des propriétés de certains modèles de feuilletages convexes de $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ de degré quelconque et du discriminant du tissu dual d'un feuilletage de $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$.

A holomorphic foliation on $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$, or a real analytic foliation on $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{R}}$, is said to be convex if its leaves other than straight lines have no inflection points. The classification of the convex foliations of degree $2$ on $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ has been established in 2015 by C. Favre and J. Pereira. The main argument of this classification was a result obtained in 2004 by D. Schlomiuk and N. Vulpe concerning the real polynomial vector fields of degree $2$ whose associated foliation on $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{R}}$ is convex. We present here a new proof of this classification, that is simpler, does not use this result and does not leave the holomorphic framework. It is based on the properties of certain models of convex foliations of $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ of arbitrary degree and of the discriminant of the dual web of a foliation of $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$.

Feuilletage convexe, Tissu dual, Discriminant, Singularité, Diviseur d'inflexion
Convex foliation, Dual web, Discriminant, Singularity, Inflection divisor
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