Les variétés de Fano sont les variétés à fibré anticanonique ample. Elles sont dominées par des familles de courbes rationnelles. Un cas particulier d'une conjecture de J. Kollàr affirme que la partie réelle d'une variété de Fano définie sur $\mathbb R$ et de dimension supérieure à trois n'admet aucune métrique à courbure strictement négative. Utilisant des méthodes de géométrie symplectique, C. Viterbo a montré cette conjecture dans le cas particulier où $b_2=1$ et la variété est dominée par des courbes rationnelles d'aire minimale : en étudiant le flot de Floer, il montre comment l'existence de courbes rationnelles entraîne celle de géodésiques fermées d'indice non nul sur la partie réelle.