Exposé Bourbaki 1054 : Progressions arithmétiques et polynomiales dans l'ensemble des nombres premiers
Exposé Bourbaki 1054 : Arithmetic and polynomial progressions in the primes after Gowers, Green, Tao and Ziegler
Anglais
Dans un article célèbre de 2004, Green et Tao ont démontré que l'ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques de toutes longueurs. Quelques années plus tard, Tao et Ziegler ont généralisé ce résultat: pour toute famille de polyn\^omes $P_1, \dots, P_k \in {\mathbb Z}[m]$ tels que $P_1(0)= \dots=P_k(0)=0$, il existe une infinité d'entiers $x,m$ tels que $x+P_1(m), \dots, x+P_k(m)$ soient premiers simultanément. Dans cet exposé nous donnons une esquisse de la stratégie de preuve employée pour établir l'existence de structures arithmétiques dans des sous-ensembles denses d'entiers ainsi que dans les nombres premiers, et nous exposons les nouveaux ingrédients spécifiques au cas de configurations polynomiales.